Номер 586, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 586, страница 170.

Условие.

586. Докажите тождество $\frac{1+\text{ctg } \alpha}{1-\text{ctg } \alpha} = \frac{\text{tg } \alpha+1}{\text{tg } \alpha-1}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся основным тригонометрическим соотношением, связывающим тангенс и котангенс: $ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} $.

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$ \frac{1 + \text{ctg} \alpha}{1 - \text{ctg} \alpha} = \frac{1 + \frac{1}{\text{tg} \alpha}}{1 - \frac{1}{\text{tg} \alpha}} $

Теперь упростим полученную многоэтажную дробь. Для этого приведем выражения в числителе и знаменателе к общему знаменателю $ \text{tg} \alpha $:

$ \frac{\frac{\text{tg} \alpha}{\text{tg} \alpha} + \frac{1}{\text{tg} \alpha}}{\frac{\text{tg} \alpha}{\text{tg} \alpha} - \frac{1}{\text{tg} \alpha}} = \frac{\frac{\text{tg} \alpha + 1}{\text{tg} \alpha}}{\frac{\text{tg} \alpha - 1}{\text{tg} \alpha}} $

Далее разделим числитель на знаменатель, умножив числитель на дробь, обратную знаменателю. При этом $ \text{tg} \alpha $ в числителе и знаменателе сокращается (при условии, что $ \text{tg} \alpha \neq 0 $):

$ \frac{\text{tg} \alpha + 1}{\text{tg} \alpha} \cdot \frac{\text{tg} \alpha}{\text{tg} \alpha - 1} = \frac{\text{tg} \alpha + 1}{\text{tg} \alpha - 1} $

В результате преобразования левая часть тождества стала равна его правой части. Это доказывает справедливость тождества для всех допустимых значений $ \alpha $.

Тождество верно при условиях, что все входящие в него выражения определены, то есть знаменатели не равны нулю ($ 1 - \text{ctg} \alpha \neq 0 $ и $ \text{tg} \alpha - 1 \neq 0 $) и сами тригонометрические функции существуют ($ \sin \alpha \neq 0 $ и $ \cos \alpha \neq 0 $).

Ответ: Тождество доказано.