Номер 580, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 580, страница 169.

Условие.

580. Установите знак разности:

а) $ \cos 2 - \sin 1 $;

в) $ \cos \frac{5\pi}{7} - \sin \frac{7\pi}{12} $;

б) $ \operatorname{tg} 4 - \operatorname{ctg} 5 $;

г) $ \sin \frac{3\pi}{5} - \operatorname{tg} \frac{16\pi}{9} $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы определить знак разности $ \cos 2 - \sin 1 $, оценим значения каждого из слагаемых. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $.

Угол $2$ радиана находится во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $, то есть $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $. Косинус во второй четверти отрицателен, следовательно, $ \cos 2 < 0 $.

Угол $1$ радиан находится в первой четверти, так как $ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $. Синус в первой четверти положителен, следовательно, $ \sin 1 > 0 $.

Разность $ \cos 2 - \sin 1 $ представляет собой разность отрицательного числа и положительного числа. Вычитание положительного числа из отрицательного всегда дает отрицательный результат. Таким образом, $ \cos 2 - \sin 1 < 0 $.

Ответ: знак минус (отрицательный).

б) Рассмотрим разность $ \tg 4 - \ctg 5 $. Аргументы функций даны в радианах. Используем приближенные значения $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $, $ 2\pi \approx 6.28 $.

Угол $4$ радиана находится в третьей четверти, так как $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $. Тангенс в третьей четверти положителен, поэтому $ \tg 4 > 0 $.

Угол $5$ радиан находится в четвертой четверти, так как $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $. Котангенс в четвертой четверти отрицателен, поэтому $ \ctg 5 < 0 $.

Разность $ \tg 4 - \ctg 5 $ является разностью положительного числа и отрицательного числа. Вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению положительного. Таким образом, $ \tg 4 - \ctg 5 > 0 $.

Ответ: знак плюс (положительный).

в) Чтобы определить знак разности $ \cos\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{7\pi}{12} $, определим знаки каждого из слагаемых.

Угол $ \frac{5\pi}{7} $ находится во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \pi = \frac{7\pi}{7} $. Косинус во второй четверти отрицателен, значит, $ \cos\frac{5\pi}{7} < 0 $.

Угол $ \frac{7\pi}{12} $ находится во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{6\pi}{12} < \frac{7\pi}{12} < \pi = \frac{12\pi}{12} $. Синус во второй четверти положителен, значит, $ \sin\frac{7\pi}{12} > 0 $.

Разность $ \cos\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{7\pi}{12} $ является разностью отрицательного числа и положительного числа, что всегда дает отрицательный результат. Следовательно, $ \cos\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{7\pi}{12} < 0 $.

Ответ: знак минус (отрицательный).

г) Рассмотрим разность $ \sin\frac{3\pi}{5} - \tg\frac{16\pi}{9} $. Определим знаки каждого из слагаемых.

Угол $ \frac{3\pi}{5} $ находится во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{2.5\pi}{5} < \frac{3\pi}{5} < \pi = \frac{5\pi}{5} $. Синус во второй четверти положителен, следовательно, $ \sin\frac{3\pi}{5} > 0 $.

Угол $ \frac{16\pi}{9} $ можно представить как $ \frac{16\pi}{9} = \frac{18\pi - 2\pi}{9} = 2\pi - \frac{2\pi}{9} $. Этот угол находится в четвертой четверти. Также можно сравнить с границами четвертей: $ \frac{3\pi}{2} = \frac{13.5\pi}{9} $ и $ 2\pi = \frac{18\pi}{9} $, откуда $ \frac{3\pi}{2} < \frac{16\pi}{9} < 2\pi $. Тангенс в четвертой четверти отрицателен, следовательно, $ \tg\frac{16\pi}{9} < 0 $.

Разность $ \sin\frac{3\pi}{5} - \tg\frac{16\pi}{9} $ является разностью положительного числа и отрицательного числа. Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению с положительным. Таким образом, $ \sin\frac{3\pi}{5} - \tg\frac{16\pi}{9} > 0 $.

Ответ: знак плюс (положительный).