Номер 579, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 579, страница 169.

Условие.

579. Положительным или отрицательным является значение выражения:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\right)$;

б) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2\right)$;

в) $\operatorname{tg}(\pi + 1)$;

г) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - 2\right)$;

д) $\sin 1 \cdot \cos 2$;

е) $\operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $sin(\frac{\pi}{2} - 2)$
Для определения знака выражения воспользуемся формулой приведения $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$. Таким образом, $sin(\frac{\pi}{2} - 2) = cos(2)$.
Теперь определим знак $cos(2)$. Угол дан в радианах. Нам известно, что $\pi \approx 3.14$, значит $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
Так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ (то есть $1.57 < 2 < 3.14$), угол в 2 радиана находится во второй координатной четверти.
Косинус во второй четверти имеет отрицательный знак. Следовательно, $cos(2) < 0$.
Ответ: отрицательное.

б) $cos(\frac{3\pi}{2} + 2)$
Используем формулу приведения $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$. В нашем случае $cos(\frac{3\pi}{2} + 2) = sin(2)$.
Определим знак $sin(2)$. Угол в 2 радиана, как мы установили в предыдущем пункте, находится во второй координатной четверти, поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ (то есть $1.57 < 2 < 3.14$).
Синус во второй четверти имеет положительный знак. Следовательно, $sin(2) > 0$.
Ответ: положительное.

в) $tg(\pi + 1)$
Тангенс является периодической функцией с периодом $\pi$. Это означает, что $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$.
Применяя это свойство, получаем $tg(\pi + 1) = tg(1)$.
Теперь определим знак $tg(1)$. Угол в 1 радиан находится в первой координатной четверти, так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$ (то есть $0 < 1 < 1.57$).
Тангенс в первой четверти имеет положительный знак. Следовательно, $tg(1) > 0$.
Ответ: положительное.

г) $ctg(\frac{3\pi}{2} - 2)$
Воспользуемся формулой приведения $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$. Таким образом, $ctg(\frac{3\pi}{2} - 2) = tg(2)$.
Определим знак $tg(2)$. Угол в 2 радиана находится во второй координатной четверти ($\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, то есть $1.57 < 2 < 3.14$).
Тангенс во второй четверти имеет отрицательный знак. Следовательно, $tg(2) < 0$.
Ответ: отрицательное.

д) $sin(1) \cdot cos(2)$
Чтобы определить знак произведения, найдем знак каждого множителя по отдельности.
1. Знак $sin(1)$. Угол в 1 радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$). Синус в первой четверти положителен, значит $sin(1) > 0$.
2. Знак $cos(2)$. Угол в 2 радиана находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14$). Косинус во второй четверти отрицателен, значит $cos(2) < 0$.
Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное: $(+) \cdot (-) = (-)$.
Ответ: отрицательное.

е) $tg(3) \cdot ctg(4)$
Определим знак каждого множителя.
1. Знак $tg(3)$. Угол в 3 радиана находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14$. Тангенс во второй четверти отрицателен, значит $tg(3) < 0$.
2. Знак $ctg(4)$. Угол в 4 радиана находится в третьей четверти, так как $\pi \approx 3.14 < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Котангенс в третьей четверти положителен, значит $ctg(4) > 0$.
Произведение отрицательного числа на положительное есть число отрицательное: $(-) \cdot (+) = (-)$.
Ответ: отрицательное.