Номер 577, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 577, страница 168.

Условие.

577. Найдите сумму синусов углов прямоугольного треугольника, если эти углы образуют арифметическую прогрессию.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть углы треугольника, образующие арифметическую прогрессию, равны $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$. Мы можем представить их в виде $a - d$, $a$ и $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность. Будем считать, что углы расположены в порядке возрастания, поэтому $d > 0$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Следовательно, мы можем записать уравнение:

$(a - d) + a + (a + d) = 180°$

Упростив левую часть, получим:

$3a = 180°$

Отсюда находим средний угол:

$a = 60°$

Итак, углы треугольника равны $60° - d$, $60°$ и $60° + d$.

По условию, треугольник является прямоугольным. Это означает, что один из его углов равен $90°$. В любом прямоугольном треугольнике прямой угол является наибольшим. В нашей последовательности углов, расположенных по возрастанию, наибольшим является $a + d$.

Следовательно, $a + d = 90°$.

Подставим в это равенство найденное значение $a = 60°$:

$60° + d = 90°$

Отсюда находим разность прогрессии:

$d = 90° - 60° = 30°$

Теперь мы можем определить все три угла треугольника:

Первый угол: $a - d = 60° - 30° = 30°$

Второй угол: $a = 60°$

Третий угол: $a + d = 60° + 30° = 90°$

Таким образом, углы треугольника равны $30°$, $60°$ и $90°$.

Теперь найдем сумму их синусов:

$S = \sin(30°) + \sin(60°) + \sin(90°)$

Используем известные значения тригонометрических функций:$\sin(30°) = \frac{1}{2}$, $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(90°) = 1$.

Подставляем эти значения в выражение для суммы:

$S = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{1 + \sqrt{3} + 2}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$