Номер 587, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 587, страница 170.

Условие.

587. Упростите выражение:

а) $1 + \cos \alpha - \frac{\operatorname{tg} \alpha + \sin \alpha}{\operatorname{tg} \alpha}$;

б) $(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)^2 - (\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} \alpha)^2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $1 + \cos \alpha - \frac{\tg \alpha + \sin \alpha}{\tg \alpha}$

Сначала упростим дробь в выражении. Для этого разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{\tg \alpha + \sin \alpha}{\tg \alpha} = \frac{\tg \alpha}{\tg \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\tg \alpha} = 1 + \frac{\sin \alpha}{\tg \alpha}$

Теперь воспользуемся определением тангенса: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Подставим это в полученное выражение:

$1 + \frac{\sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = 1 + \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

При условии, что $\sin \alpha \neq 0$ (что необходимо для существования $\tg \alpha$ и для того, чтобы он не был равен нулю в знаменателе), мы можем сократить $\sin \alpha$:

$1 + \cos \alpha$

Теперь подставим упрощенную дробь обратно в исходное выражение:

$1 + \cos \alpha - (1 + \cos \alpha) = 1 + \cos \alpha - 1 - \cos \alpha = 0$

Ответ: $0$

б) $(\tg \alpha + \ctg \alpha)^2 - (\tg \alpha - \ctg \alpha)^2$

Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = \tg \alpha + \ctg \alpha$ и $b = \tg \alpha - \ctg \alpha$.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Найдем каждый из множителей:

$a - b = (\tg \alpha + \ctg \alpha) - (\tg \alpha - \ctg \alpha) = \tg \alpha + \ctg \alpha - \tg \alpha + \ctg \alpha = 2 \ctg \alpha$

$a + b = (\tg \alpha + \ctg \alpha) + (\tg \alpha - \ctg \alpha) = \tg \alpha + \ctg \alpha + \tg \alpha - \ctg \alpha = 2 \tg \alpha$

Теперь перемножим полученные выражения:

$(2 \ctg \alpha) \cdot (2 \tg \alpha) = 4 \cdot \ctg \alpha \cdot \tg \alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $\ctg \alpha \cdot \tg \alpha = 1$, получаем:

$4 \cdot 1 = 4$

Ответ: $4$