Занимательные задачи 1, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - страница 171.

Условие.

Упростите выражение

$\left(\sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}}\right)\left(\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} - \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}}\right)$,

где $\alpha$ – острый угол.

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы гарантированно определить, какой ключ к какой двери подходит, и открыть все двери, необходимо рассмотреть наихудший сценарий. В таком сценарии мы будем совершать максимальное количество проверок (попыток). Попыткой считается одна проверка ключа в одном замке.

Рассмотрим последовательный подбор ключей к дверям.

Для первой двери: у нас есть 10 ключей. В худшем случае, мы будем пробовать все неподходящие ключи перед тем, как найдем правильный. Мы можем попробовать 9 ключей, и все они не подойдут. После 9 неудачных попыток мы будем точно знать, что оставшийся, десятый ключ, является правильным для этой двери. Таким образом, в худшем случае для определения ключа к первой двери потребуется 9 попыток.

Для второй двери: у нас осталось 9 неиспользованных ключей и 9 закрытых дверей. Применяя ту же логику, в наихудшем случае нам понадобится 8 попыток, чтобы найти правильный ключ среди оставшихся девяти.

Продолжая этот процесс для каждой следующей двери, максимальное количество попыток будет уменьшаться на единицу:

Для 3-й двери — 7 попыток.
Для 4-й двери — 6 попыток.
Для 5-й двери — 5 попыток.
Для 6-й двери — 4 попытки.
Для 7-й двери — 3 попытки.
Для 8-й двери — 2 попытки.
Для 9-й двери — 1 попытка (осталось 2 ключа и 2 двери, достаточно проверить один ключ в одной двери, чтобы всё стало ясно).
Для 10-й двери — 0 попыток (остался 1 ключ и 1 дверь, соответствие очевидно без проверок).

Чтобы найти общее максимальное количество попыток, необходимо сложить попытки для каждой двери:$N = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0$

Это сумма арифметической прогрессии, которую можно вычислить по формуле суммы первых $n$ натуральных чисел $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$, где $n=9$.$N = \frac{9 \times (9 + 1)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = 45$

Таким образом, максимальное количество попыток, которое может потребоваться, чтобы открыть все 10 дверей, составляет 45.
Ответ: 45.