Вопросы, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - страница 177.

Условие.

1. Перечислите основные свойства функции: а) $y = \sin x$; б) $y = \cos x$; в) $y = \operatorname{tg} x$; г) $y = \operatorname{ctg} x$

2. Докажите, что наименьший положительный период функции: а) $y = \cos x$ равен $2\pi$; б) $y = \operatorname{ctg} x$ равен $\pi$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) y = sin x
Область определения: все действительные числа, $D(y) = R$.
Область значений: отрезок $[-1, 1]$, $E(y) = [-1, 1]$.
Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\sin(-x) = -\sin x$. График функции симметричен относительно начала координат.
Периодичность: функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\sin(x + 2\pi) = \sin x$.
Нули функции: $y = 0$ при $x = \pi n$, где $n \in Z$.
Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$, $n \in Z$.
$y < 0$ при $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, $n \in Z$.
Промежутки монотонности:
Функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, $n \in Z$.
Функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, $n \in Z$.
Точки экстремума:
Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in Z$. Максимальное значение функции $y_{max} = 1$.
Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in Z$. Минимальное значение функции $y_{min} = -1$.
Ответ:

б) y = cos x
Область определения: все действительные числа, $D(y) = R$.
Область значений: отрезок $[-1, 1]$, $E(y) = [-1, 1]$.
Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\cos(-x) = \cos x$. График функции симметричен относительно оси Oy.
Периодичность: функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.
Нули функции: $y = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in Z$.
$y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in Z$.
Промежутки монотонности:
Функция возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$, $n \in Z$.
Функция убывает на промежутках вида $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$, $n \in Z$.
Точки экстремума:
Точки максимума: $x = 2\pi n$, $n \in Z$. Максимальное значение функции $y_{max} = 1$.
Точки минимума: $x = \pi + 2\pi n$, $n \in Z$. Минимальное значение функции $y_{min} = -1$.
Ответ:

в) y = tg x
Область определения: все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Область значений: все действительные числа, $E(y) = R$.
Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\text{tg}(-x) = -\text{tg} x$. График функции симметричен относительно начала координат.
Периодичность: функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\text{tg}(x + \pi) = \text{tg} x$.
Нули функции: $y = 0$ при $x = \pi n$, где $n \in Z$.
Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in Z$.
$y < 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$, $n \in Z$.
Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом из интервалов области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in Z$.
Асимптоты: прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$, являются вертикальными асимптотами.
Ответ:

г) y = ctg x
Область определения: все действительные числа, кроме $x = \pi n$, где $n \in Z$.
Область значений: все действительные числа, $E(y) = R$.
Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg} x$. График функции симметричен относительно начала координат.
Периодичность: функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\text{ctg}(x + \pi) = \text{ctg} x$.
Нули функции: $y = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in Z$.
$y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n)$, $n \in Z$.
Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из интервалов области определения $(\pi n, \pi + \pi n)$, $n \in Z$.
Асимптоты: прямые $x = \pi n$, $n \in Z$, являются вертикальными асимптотами.
Ответ:

а) y = cos x равен 2π
Для доказательства, что наименьший положительный период функции $y = \cos x$ равен $2\pi$, необходимо выполнить два шага:
1. Доказать, что $2\pi$ является периодом.
По определению, число $T$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Область определения функции $y=\cos x$ - все действительные числа.
Используем формулу косинуса суммы: $\cos(x + 2\pi) = \cos x \cos(2\pi) - \sin x \sin(2\pi)$.
Так как $\cos(2\pi) = 1$ и $\sin(2\pi) = 0$, получаем: $\cos(x + 2\pi) = \cos x \cdot 1 - \sin x \cdot 0 = \cos x$.
Равенство выполняется для любого $x$, следовательно, $T=2\pi$ является периодом функции $y=\cos x$.
2. Доказать, что это наименьший положительный период.
Предположим от противного, что существует меньший положительный период $T_0$, такой что $0 < T_0 < 2\pi$.
Тогда для любого $x$ должно выполняться равенство $\cos(x + T_0) = \cos x$.
Пусть $x=0$. Равенство примет вид: $\cos(0 + T_0) = \cos(0)$, то есть $\cos(T_0) = 1$.
Наименьшее положительное число, косинус которого равен 1, это $2\pi$. Таким образом, наименьшее положительное $T_0$, удовлетворяющее уравнению $\cos(T_0) = 1$, есть $T_0 = 2\pi$.
Это противоречит нашему предположению, что $0 < T_0 < 2\pi$. Следовательно, не существует положительного периода, меньшего чем $2\pi$.
Таким образом, $2\pi$ - наименьший положительный период функции $y = \cos x$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) y = ctg x равен π
Для доказательства, что наименьший положительный период функции $y = \text{ctg} x$ равен $\pi$, необходимо выполнить два шага:
1. Доказать, что $\pi$ является периодом.
Область определения функции $y = \text{ctg} x$ - это все действительные числа, кроме $x = k\pi$, $k \in Z$. Если $x$ принадлежит области определения, то и $x+\pi$ также принадлежит ей.
Используем определение котангенса и формулы приведения: $\text{ctg}(x + \pi) = \frac{\cos(x + \pi)}{\sin(x + \pi)} = \frac{-\cos x}{-\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \text{ctg} x$.
Равенство выполняется для любого $x$ из области определения, следовательно, $T=\pi$ является периодом функции $y = \text{ctg} x$.
2. Доказать, что это наименьший положительный период.
Предположим от противного, что существует меньший положительный период $T_0$, такой что $0 < T_0 < \pi$.
Тогда для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $\text{ctg}(x + T_0) = \text{ctg} x$.
Из равенства котангенсов следует, что их аргументы могут отличаться на число, кратное $\pi$. То есть $x + T_0 = x + \pi n$ для некоторого целого числа $n$.
Отсюда получаем $T_0 = \pi n$.
Так как по предположению $T_0$ - положительный период, то $T_0 > 0$, значит $n$ должно быть натуральным числом ($n=1, 2, 3, ...$).
Наименьшее положительное значение, которое может принимать $T_0$, равно $\pi$ (при $n=1$).
Это противоречит нашему предположению, что $0 < T_0 < \pi$. Следовательно, не существует положительного периода, меньшего чем $\pi$.
Таким образом, $\pi$ - наименьший положительный период функции $y = \text{ctg} x$.
Ответ: Что и требовалось доказать.