Номер 597, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 597, страница 178.

Условие.

597. Найдите область значений функции:

a) $y = \sin \frac{1}{2}x;$

б) $y = -\cos x;$

в) $y = 2\sin x;$

г) $y = \cos x + 2.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти область значений функции $y = \sin\frac{1}{2}x$, воспользуемся известной областью значений для синуса. Область значений функции $t = \sin(u)$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(u) \le 1$ для любого аргумента $u$. В нашем случае $u = \frac{1}{2}x$. Коэффициент при аргументе влияет на период функции (растягивает ее по горизонтали), но не на её амплитуду (максимальное и минимальное значения). Поэтому значения функции $y$ также лежат в отрезке от -1 до 1.

Ответ: $[-1, 1]$.

б) Для функции $y = -\cos x$ начнем с области значений $t = \cos x$, которая является отрезком $[-1, 1]$. Это значит, что $-1 \le \cos x \le 1$. Умножим все части данного двойного неравенства на -1. При этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $1 \ge -\cos x \ge -1$. Записав неравенство в стандартном виде, получим $-1 \le -\cos x \le 1$. Таким образом, искомая область значений — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $[-1, 1]$.

в) Рассмотрим функцию $y = 2\sin x$. Область значений для $t = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, или $-1 \le \sin x \le 1$. Умножим все части этого неравенства на 2. Так как 2 > 0, знаки неравенства сохраняются: $2 \cdot (-1) \le 2\sin x \le 2 \cdot 1$. В результате получаем $-2 \le 2\sin x \le 2$. Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: $[-2, 2]$.

г) Для функции $y = \cos x + 2$ используем тот факт, что область значений $t = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$. Прибавим 2 ко всем частям неравенства: $-1 + 2 \le \cos x + 2 \le 1 + 2$. После вычислений получаем $1 \le \cos x + 2 \le 3$. Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[1, 3]$.

Ответ: $[1, 3]$.