Номер 603, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 603, страница 178.

Условие.

603. На каждом из рисунков 69 изображена часть графика некоторой периодической функции с периодом $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-T; 2T]$.

a)

б)

Рисунок 69

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Поскольку функция является периодической с периодом $T$, ее график повторяется на каждом интервале длиной $T$. Нам дан график на отрезке $[0; T]$. Чтобы построить график на требуемом промежутке $[-T; 2T]$, мы должны воспроизвести данный фрагмент на соседних интервалах.

1. Построение на отрезке $[T; 2T]$:
Мы сдвигаем график с отрезка $[0; T]$ на $T$ вправо. Исходный график представляет собой треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(T/2, T/2)$ и $(T, 0)$. При сдвиге на $T$ вправо, координаты $x$ увеличиваются на $T$, а координаты $y$ остаются прежними. Новые вершины будут:

• $(0+T, 0) = (T, 0)$
• $(T/2+T, T/2) = (3T/2, T/2)$
• $(T+T, 0) = (2T, 0)$

Таким образом, на отрезке $[T; 2T]$ мы получаем треугольник с вершинами в точках $(T, 0)$, $(3T/2, T/2)$ и $(2T, 0)$.

2. Построение на отрезке $[-T; 0]$:
Мы сдвигаем график с отрезка $[0; T]$ на $T$ влево. Координаты $x$ уменьшаются на $T$. Новые вершины будут:

• $(0-T, 0) = (-T, 0)$
• $(T/2-T, T/2) = (-T/2, T/2)$
• $(T-T, 0) = (0, 0)$

На отрезке $[-T; 0]$ мы получаем треугольник с вершинами в точках $(-T, 0)$, $(-T/2, T/2)$ и $(0, 0)$.

Соединяя все три части, мы получаем итоговый график на промежутке $[-T; 2T]$.

Ответ: График функции на промежутке $[-T; 2T]$ представляет собой непрерывную "пилообразную" линию, состоящую из трех одинаковых треугольников. Вершины треугольников находятся в точках: $(-T, 0)$, $(-T/2, T/2)$, $(0, 0)$; затем $(0, 0)$, $(T/2, T/2)$, $(T, 0)$; и наконец $(T, 0)$, $(3T/2, T/2)$, $(2T, 0)$.

б)

Функция периодическая с периодом $T$. График на отрезке $[0; T]$ представляет собой дугу, соединяющую точки $(0, 0)$ и $(T, 0)$ и достигающую минимума в точке $(T/2, -T/2)$. Эта форма повторяется на каждом интервале длиной $T$.

1. Построение на отрезке $[T; 2T]$:
Сдвигаем исходный график на $T$ вправо. Ключевые точки $(0, 0)$, $(T/2, -T/2)$ и $(T, 0)$ переходят в точки:

• $(0+T, 0) = (T, 0)$
• $(T/2+T, -T/2) = (3T/2, -T/2)$
• $(T+T, 0) = (2T, 0)$

На отрезке $[T; 2T]$ график представляет собой такую же дугу, проходящую через точки $(T, 0)$, $(2T, 0)$ и имеющую минимум в точке $(3T/2, -T/2)$.

2. Построение на отрезке $[-T; 0]$:
Сдвигаем исходный график на $T$ влево. Ключевые точки $(0, 0)$, $(T/2, -T/2)$ и $(T, 0)$ переходят в точки:

• $(0-T, 0) = (-T, 0)$
• $(T/2-T, -T/2) = (-T/2, -T/2)$
• $(T-T, 0) = (0, 0)$

На отрезке $[-T; 0]$ график представляет собой дугу, проходящую через точки $(-T, 0)$, $(0, 0)$ и имеющую минимум в точке $(-T/2, -T/2)$.

Итоговый график на промежутке $[-T; 2T]$ состоит из трех последовательных одинаковых дуг, расположенных под осью абсцисс.

Ответ: График функции на промежутке $[-T; 2T]$ состоит из трех одинаковых дуг, обращенных выпуклостью вверх. Первая дуга соединяет точки $(-T, 0)$ и $(0, 0)$ с точкой минимума $(-T/2, -T/2)$. Вторая дуга соединяет $(0, 0)$ и $(T, 0)$ с минимумом в $(T/2, -T/2)$. Третья дуга соединяет $(T, 0)$ и $(2T, 0)$ с минимумом в $(3T/2, -T/2)$.