Номер 609, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 609, страница 179.

Условие.

609. Диагональ прямоугольника равна 1 дм, а угол между его диагоналями $\beta$. Исследуйте, при каком значении $\beta$ площадь этого прямоугольника будет наибольшей.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $d$ — длина диагонали прямоугольника, а $\beta$ — угол между диагоналями. По условию задачи, $d = 1$ дм.

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей $d_1$, $d_2$ и угол $\beta$ между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\beta$

В прямоугольнике диагонали равны, поэтому $d_1 = d_2 = d$. Формула для площади прямоугольника принимает вид:

$S = \frac{1}{2} d \cdot d \sin\beta = \frac{1}{2} d^2 \sin\beta$

Подставим в эту формулу известное значение длины диагонали $d = 1$ дм:

$S(\beta) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin\beta = \frac{1}{2} \sin\beta$

Таким образом, площадь прямоугольника $S$ является функцией от угла $\beta$. Чтобы найти, при каком значении $\beta$ площадь будет наибольшей, необходимо исследовать функцию $S(\beta)$ на максимум.

Угол между диагоналями в невырожденном прямоугольнике может принимать значения в интервале $0^\circ < \beta < 180^\circ$.

Функция $S(\beta) = \frac{1}{2} \sin\beta$ достигает своего максимального значения тогда же, когда достигает максимума функция $\sin\beta$. В интервале $(0^\circ, 180^\circ)$ функция синуса принимает наибольшее значение, равное 1, в единственной точке.

Максимальное значение $\sin\beta = 1$ достигается при $\beta = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Следовательно, площадь прямоугольника будет наибольшей, когда угол между его диагоналями является прямым. Геометрически это означает, что данный прямоугольник является квадратом.

Ответ: Площадь этого прямоугольника будет наибольшей при значении угла $\beta = 90^\circ$.