Номер 615, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 615, страница 180.

Условие.

615. Зная, что $\operatorname{tg} \beta = a$, где $a \neq 0$, найдите значение выражения:

а) $1 - \operatorname{tg}(2\pi - \beta)$;

б) $\operatorname{ctg}(-\beta) + a$;

в) $a - \operatorname{tg}(-\beta - 3\pi)$;

г) $\frac{1}{a} - \operatorname{ctg}(\beta - 2\pi)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для нахождения значения выражения $1 - tg(2\pi - \beta)$ воспользуемся свойствами тригонометрических функций. Функция тангенс имеет период $\pi$, поэтому любое слагаемое вида $k\pi$, где $k$ - целое число, можно отбросить из аргумента. В данном случае $2\pi$ является периодом. Используем формулу приведения: $tg(2\pi - \beta) = tg(-\beta)$.
Так как тангенс является нечетной функцией, то $tg(-\beta) = -tg(\beta)$.
По условию задачи $tg(\beta) = a$.
Следовательно, $tg(2\pi - \beta) = -a$.
Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:
$1 - tg(2\pi - \beta) = 1 - (-a) = 1 + a$.
Ответ: $1 + a$.

б) Для нахождения значения выражения $ctg(-\beta) + a$ воспользуемся свойствами тригонометрических функций. Котангенс является нечетной функцией, поэтому $ctg(-\beta) = -ctg(\beta)$.
Известно, что $ctg(\beta)$ и $tg(\beta)$ связаны соотношением $ctg(\beta) = \frac{1}{tg(\beta)}$.
По условию $tg(\beta) = a$, следовательно, $ctg(\beta) = \frac{1}{a}$.
Тогда $ctg(-\beta) = - \frac{1}{a}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$ctg(-\beta) + a = -\frac{1}{a} + a = a - \frac{1}{a}$.
Ответ: $a - \frac{1}{a}$.

в) Для нахождения значения выражения $a - tg(-\beta - 3\pi)$ преобразуем аргумент тангенса. Сначала воспользуемся нечетностью тангенса: $tg(-\beta - 3\pi) = tg(-(\beta + 3\pi)) = -tg(\beta + 3\pi)$.
Период функции тангенс равен $\pi$, поэтому мы можем отбросить слагаемое $3\pi$ из аргумента: $tg(\beta + 3\pi) = tg(\beta)$.
Таким образом, получаем, что $tg(-\beta - 3\pi) = -tg(\beta)$.
По условию $tg(\beta) = a$, значит $tg(-\beta - 3\pi) = -a$.
Подставим найденное значение в исходное выражение:
$a - tg(-\beta - 3\pi) = a - (-a) = a + a = 2a$.
Ответ: $2a$.

г) Для нахождения значения выражения $\frac{1}{a} - ctg(\beta - 2\pi)$ воспользуемся свойствами тригонометрических функций. Функция котангенс имеет период $\pi$, поэтому $2\pi$ является кратным периоду. Мы можем отбросить слагаемое $-2\pi$ из аргумента: $ctg(\beta - 2\pi) = ctg(\beta)$.
Мы знаем, что $ctg(\beta) = \frac{1}{tg(\beta)}$.
По условию $tg(\beta) = a$, следовательно, $ctg(\beta) = \frac{1}{a}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$\frac{1}{a} - ctg(\beta - 2\pi) = \frac{1}{a} - ctg(\beta) = \frac{1}{a} - \frac{1}{a} = 0$.
Ответ: $0$.