Номер 617, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 617, страница 180.

Условие.

617. При каких значениях x не имеет смысла выражение:

а) $\frac{\pi}{\operatorname{tg}(\pi-x)}$;

б) $\frac{2\pi}{\operatorname{ctg}(-x-2\pi)}$;

в) $\operatorname{tg}(2x-\frac{\pi}{4})$;

г) $\operatorname{ctg}(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3})$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Выражение $ \frac{\pi}{\text{tg}(\pi - x)} $ не имеет смысла в двух случаях: когда знаменатель равен нулю, или когда тангенс в знаменателе не определен.

1. Функция тангенса не определена, когда ее аргумент равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $ (Z — множество целых чисел).
$ \pi - x = \frac{\pi}{2} + \pi k $
$ -x = \frac{\pi}{2} - \pi + \pi k $
$ -x = -\frac{\pi}{2} + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{2} - \pi k $
Так как $ k $ — любое целое число, то $ -k $ также любое целое число. Обозначим $ n = -k $, тогда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2. Знаменатель равен нулю, когда $ \text{tg}(\pi - x) = 0 $. Тангенс равен нулю, когда его аргумент равен $ \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
$ \pi - x = \pi m $
$ -x = \pi m - \pi $
$ x = \pi - \pi m = \pi(1 - m) $
Так как $ m $ — любое целое число, то $ 1 - m $ также любое целое число. Обозначим $ j = 1 - m $, тогда $ x = \pi j, j \in \mathbb{Z} $.

Объединяя оба случая, получаем, что выражение не имеет смысла при $ x = \pi j $ и $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $. Эти две серии точек можно объединить в одну общую формулу: $ x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

б) Выражение $ \frac{2\pi}{\text{ctg}(-x - 2\pi)} $ не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю или когда котангенс в знаменателе не определен.

1. Функция котангенса не определена, когда ее аргумент равен $ \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ -x - 2\pi = \pi k $
$ -x = 2\pi + \pi k $
$ x = -2\pi - \pi k $
Пусть $ n = -2-k $. Так как $ k $ — любое целое число, $ n $ также является любым целым числом. Тогда $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2. Знаменатель равен нулю, когда $ \text{ctg}(-x - 2\pi) = 0 $. Котангенс равен нулю, когда его аргумент равен $ \frac{\pi}{2} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
$ -x - 2\pi = \frac{\pi}{2} + \pi m $
$ -x = \frac{\pi}{2} + 2\pi + \pi m $
$ -x = \frac{5\pi}{2} + \pi m $
$ x = -\frac{5\pi}{2} - \pi m $
Преобразуем выражение: $ x = -\frac{6\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \pi m = -3\pi + \frac{\pi}{2} - \pi m = \frac{\pi}{2} + \pi(-3-m) $.
Пусть $ j = -3-m $. Так как $ m $ — любое целое число, $ j $ также является любым целым числом. Тогда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi j, j \in \mathbb{Z} $.

Объединяя оба случая, получаем $ x = \pi n $ и $ x = \frac{\pi}{2} + \pi j $. Эти две серии точек можно объединить в одну общую формулу: $ x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

в) Выражение $ \text{tg}(2x - \frac{\pi}{4}) $ не имеет смысла, когда аргумент тангенса равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k $
$ 2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k $
$ 2x = \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi k $
$ 2x = \frac{3\pi}{4} + \pi k $
$ x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

г) Выражение $ \text{ctg}(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3}) $ не имеет смысла, когда аргумент котангенса равен $ \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3} = \pi k $
$ \frac{1}{2}x = \pi k - \frac{\pi}{3} $
$ x = 2(\pi k - \frac{\pi}{3}) $
$ x = 2\pi k - \frac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi k - \frac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} $.