Номер 619, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 619, страница 181.

Условие.

619. Исследуйте, как изменяется площадь треугольника с двумя данными сторонами при возрастании от 0 до $\pi$ угла между ними.

Существует ли значение площади треугольника:

а) наибольшее;

б) наименьшее?

Решение.

Решение 2 (rus).

Площадь треугольника $S$ с двумя заданными сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними вычисляется по формуле:$S = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$.

Поскольку длины сторон $a$ и $b$ являются постоянными величинами (по условию задачи), то площадь $S$ является функцией только угла $\alpha$. Коэффициент $\frac{1}{2}ab$ — это положительная константа. Следовательно, изменение площади $S$ полностью определяется поведением функции $\sin(\alpha)$ на промежутке от $0$ до $\pi$.

Рассмотрим поведение функции $y = \sin(\alpha)$ при возрастании угла $\alpha$ от $0$ до $\pi$:

1. На промежутке $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$ (от 0° до 90°) значение $\sin(\alpha)$ возрастает от $\sin(0) = 0$ до $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Соответственно, площадь треугольника $S$ возрастает от $S = \frac{1}{2}ab \cdot 0 = 0$ до $S = \frac{1}{2}ab \cdot 1 = \frac{1}{2}ab$.

2. На промежутке $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ (от 90° до 180°) значение $\sin(\alpha)$ убывает от $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ до $\sin(\pi) = 0$. Соответственно, площадь треугольника $S$ убывает от $S = \frac{1}{2}ab$ до $S = 0$.

Таким образом, при возрастании угла $\alpha$ от $0$ до $\pi$ площадь треугольника сначала возрастает от $0$ до своего максимального значения $\frac{1}{2}ab$ (при $\alpha = \frac{\pi}{2}$), а затем убывает обратно до $0$.

а) Да, существует наибольшее значение площади треугольника. Оно достигается, когда угол $\alpha$ между сторонами равен $\frac{\pi}{2}$ (90°), так как в этом случае $\sin(\alpha)$ принимает свое максимальное значение, равное 1. Наибольшая площадь равна $S_{max} = \frac{1}{2}ab$.
Ответ: да, существует; оно достигается при угле $\frac{\pi}{2}$ и равно половине произведения данных сторон.

б) Да, существует наименьшее значение площади треугольника. Оно достигается, когда угол $\alpha$ между сторонами равен $0$ или $\pi$ (0° или 180°). В этих случаях $\sin(\alpha)$ принимает свое минимальное значение, равное 0. Площадь треугольника также равна 0. Геометрически это означает, что треугольник вырождается в отрезок.
Ответ: да, существует; оно достигается при угле $0$ или $\pi$ и равно нулю.