Номер 625, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 625, страница 181.

Условие.

625. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{\cos x + 1}{\sin x - 1}$; б) $y = \frac{3 \sin x}{\sqrt{2 \cos x - 1}}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Область определения функции $y = \frac{\cos x + 1}{\sin x - 1}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Запишем это условие в виде неравенства:

$\sin x - 1 \neq 0$

$\sin x \neq 1$

Теперь найдем значения $x$, при которых $\sin x = 1$. Это частный случай решения тригонометрического уравнения.

Решениями этого уравнения являются значения:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (то есть, $k$ - любое целое число).

Эти значения $x$ необходимо исключить из множества всех действительных чисел, чтобы функция была определена.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Область определения функции $y = \frac{3 \sin x}{\sqrt{2 \cos x - 1}}$ определяется двумя условиями:

1. Знаменатель не должен быть равен нулю.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Объединяя эти два условия, получаем, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля.

$2 \cos x - 1 > 0$

Решим это тригонометрическое неравенство:

$2 \cos x > 1$

$\cos x > \frac{1}{2}$

Чтобы найти решения этого неравенства, рассмотрим единичную окружность. Сначала найдем углы, для которых $\cos x = \frac{1}{2}$. Эти углы равны $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$ (или $x = \frac{5\pi}{3}$) на основном промежутке $[0, 2\pi]$.

Косинус угла больше $\frac{1}{2}$ для всех углов, которые лежат в интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$.

Так как функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, общее решение неравенства можно записать, добавив к границам интервала $2\pi k$:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это и есть область определения данной функции.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.