Номер 630, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 630, страница 182.

Условие.

630. Установите, возможно ли равенство:

а) $\sin \alpha + 3\cos \alpha = 5;$

б) $4\cos \alpha - 3\sin \alpha = 7.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Чтобы установить, возможно ли равенство, оценим максимальное и минимальное значения выражения в левой части: $ \sin \alpha + 3\cos \alpha $.

Выражение вида $ a\sin x + b\cos x $ имеет область значений, которая представляет собой отрезок $ [-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}] $. Это следует из того, что такое выражение можно преобразовать к виду $ R\sin(x+\phi) $ или $ R\cos(x-\phi) $, где $ R = \sqrt{a^2+b^2} $.

Для выражения $ \sin \alpha + 3\cos \alpha $ имеем коэффициенты $ a = 1 $ и $ b = 3 $. Найдем $ R $:

$ R = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $.

Таким образом, область значений выражения $ \sin \alpha + 3\cos \alpha $ — это отрезок $ [-\sqrt{10}, \sqrt{10}] $. Это значит, что для любого угла $ \alpha $ выполняется неравенство:

$ -\sqrt{10} \le \sin \alpha + 3\cos \alpha \le \sqrt{10} $.

В правой части исходного равенства стоит число 5. Необходимо проверить, принадлежит ли 5 отрезку $ [-\sqrt{10}, \sqrt{10}] $. Для этого сравним 5 с $ \sqrt{10} $. Так как оба числа положительные, можно сравнить их квадраты:

$ 5^2 = 25 $

$ (\sqrt{10})^2 = 10 $

Поскольку $ 25 > 10 $, то $ 5 > \sqrt{10} $. Значение 5 больше максимального возможного значения левой части. Следовательно, равенство невозможно.

Ответ: равенство невозможно.

б)

Рассмотрим равенство $ 4\cos \alpha - 3\sin \alpha = 7 $. Применим тот же метод, что и в пункте а).

Левая часть $ 4\cos \alpha - 3\sin \alpha $ является выражением вида $ a\sin \alpha + b\cos \alpha $, где $ a = -3 $ и $ b = 4 $.

Найдем максимальное и минимальное значения этого выражения, вычислив $ R = \sqrt{a^2+b^2} $:

$ R = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $.

Следовательно, область значений выражения $ 4\cos \alpha - 3\sin \alpha $ — это отрезок $ [-5, 5] $. Для любого угла $ \alpha $ справедливо неравенство:

$ -5 \le 4\cos \alpha - 3\sin \alpha \le 5 $.

В правой части исходного равенства стоит число 7. Так как $ 7 > 5 $, число 7 не входит в область значений левой части. Таким образом, данное равенство невозможно.

Ответ: равенство невозможно.