Номер 630, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 630, страница 182.
№630 (с. 182)
Условие. №630 (с. 182)
скриншот условия

630. Установите, возможно ли равенство:
а) $\sin \alpha + 3\cos \alpha = 5;$
б) $4\cos \alpha - 3\sin \alpha = 7.$
Решение. №630 (с. 182)

Решение 2 (rus). №630 (с. 182)
а)
Чтобы установить, возможно ли равенство, оценим максимальное и минимальное значения выражения в левой части: $ \sin \alpha + 3\cos \alpha $.
Выражение вида $ a\sin x + b\cos x $ имеет область значений, которая представляет собой отрезок $ [-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}] $. Это следует из того, что такое выражение можно преобразовать к виду $ R\sin(x+\phi) $ или $ R\cos(x-\phi) $, где $ R = \sqrt{a^2+b^2} $.
Для выражения $ \sin \alpha + 3\cos \alpha $ имеем коэффициенты $ a = 1 $ и $ b = 3 $. Найдем $ R $:
$ R = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $.
Таким образом, область значений выражения $ \sin \alpha + 3\cos \alpha $ — это отрезок $ [-\sqrt{10}, \sqrt{10}] $. Это значит, что для любого угла $ \alpha $ выполняется неравенство:
$ -\sqrt{10} \le \sin \alpha + 3\cos \alpha \le \sqrt{10} $.
В правой части исходного равенства стоит число 5. Необходимо проверить, принадлежит ли 5 отрезку $ [-\sqrt{10}, \sqrt{10}] $. Для этого сравним 5 с $ \sqrt{10} $. Так как оба числа положительные, можно сравнить их квадраты:
$ 5^2 = 25 $
$ (\sqrt{10})^2 = 10 $
Поскольку $ 25 > 10 $, то $ 5 > \sqrt{10} $. Значение 5 больше максимального возможного значения левой части. Следовательно, равенство невозможно.
Ответ: равенство невозможно.
б)
Рассмотрим равенство $ 4\cos \alpha - 3\sin \alpha = 7 $. Применим тот же метод, что и в пункте а).
Левая часть $ 4\cos \alpha - 3\sin \alpha $ является выражением вида $ a\sin \alpha + b\cos \alpha $, где $ a = -3 $ и $ b = 4 $.
Найдем максимальное и минимальное значения этого выражения, вычислив $ R = \sqrt{a^2+b^2} $:
$ R = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $.
Следовательно, область значений выражения $ 4\cos \alpha - 3\sin \alpha $ — это отрезок $ [-5, 5] $. Для любого угла $ \alpha $ справедливо неравенство:
$ -5 \le 4\cos \alpha - 3\sin \alpha \le 5 $.
В правой части исходного равенства стоит число 7. Так как $ 7 > 5 $, число 7 не входит в область значений левой части. Таким образом, данное равенство невозможно.
Ответ: равенство невозможно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 630 расположенного на странице 182 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №630 (с. 182), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.