Номер 632, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 632, страница 185.

Условие.

632. Могут ли для какого-нибудь угла $\alpha$ выполняться условия:

a) $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$;

б) $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{1}{5}$;

в) $\text{tg } \alpha = -0,125$ и $\text{ctg } \alpha = -8$;

г) $\text{tg } \alpha = 2 - \sqrt{3}$ и $\text{ctg } \alpha = 2 + \sqrt{3}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы определить, могут ли для какого-нибудь угла $ \alpha $ выполняться указанные условия, мы воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.

а) $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $ и $ \cos\alpha = -\frac{4}{5} $

Проверим, выполняется ли основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Подставим в него заданные значения:

$ (\frac{3}{5})^2 + (-\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{9+16}{25} = \frac{25}{25} = 1 $.

Равенство $ 1 = 1 $ является верным, следовательно, тождество выполняется. Это означает, что такие значения синуса и косинуса могут соответствовать одному и тому же углу. Знаки ($ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha < 0 $) соответствуют углу во второй координатной четверти.

Ответ: да, могут.

б) $ \sin\alpha = \frac{4}{5} $ и $ \cos\alpha = \frac{1}{5} $

Снова проверим выполнение основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

$ (\frac{4}{5})^2 + (\frac{1}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{1}{25} = \frac{17}{25} $.

Поскольку $ \frac{17}{25} \neq 1 $, тождество не выполняется. Следовательно, не существует угла $ \alpha $, для которого синус и косинус принимали бы такие значения одновременно.

Ответ: нет, не могут.

в) $ \text{tg}\alpha = -0,125 $ и $ \text{ctg}\alpha = -8 $

Проверим, выполняется ли тождество $ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $. Подставим заданные значения:

$ (-0,125) \cdot (-8) $.

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $ -0,125 = -\frac{125}{1000} = -\frac{1}{8} $.

Вычислим произведение: $ (-\frac{1}{8}) \cdot (-8) = 1 $.

Равенство $ 1 = 1 $ является верным, тождество выполняется. Знаки тангенса и котангенса одинаковы, что также является необходимым условием. Следовательно, такие значения могут соответствовать одному и тому же углу.

Ответ: да, могут.

г) $ \text{tg}\alpha = 2 - \sqrt{3} $ и $ \text{ctg}\alpha = 2 + \sqrt{3} $

Используем то же тождество: $ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $. Вычислим произведение заданных значений, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $:

$ (2 - \sqrt{3}) \cdot (2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 $.

Равенство $ 1 = 1 $ верное, тождество выполняется. Знаки у тангенса и котангенса одинаковы (оба положительны, так как $ \sqrt{3} \approx 1,73 $, и $ 2 - \sqrt{3} > 0 $). Следовательно, такие значения могут соответствовать одному и тому же углу.

Ответ: да, могут.