Вопросы, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - страница 184.

Условие.

Запишите и докажите основные тригонометрические тождества.

Решение.

Решение 2 (rus).

Основные тригонометрические тождества — это равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Для их доказательства воспользуемся определением тригонометрических функций через единичную окружность. Рассмотрим точку $P(x, y)$ на единичной окружности с центром в начале координат и радиусом $R=1$, полученную поворотом начального радиуса (лежащего на положительной части оси Ox) на угол $\alpha$. По определению, синус угла $\alpha$ — это ордината точки $P$, а косинус — её абсцисса. То есть, $\sin(\alpha) = y$ и $\cos(\alpha) = x$. Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу, а котангенс — как отношение косинуса к синусу.

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

Это тождество называют основным тригонометрическим тождеством.
Доказательство:
Точка $P(x, y)$ лежит на единичной окружности, уравнение которой $x^2 + y^2 = 1$.
По определению, $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.
Подставим эти значения в уравнение окружности: $(\cos(\alpha))^2 + (\sin(\alpha))^2 = 1$.
Что эквивалентно записи $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Это равенство справедливо для любого угла $\alpha$.
Ответ: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

$\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Доказательство:
По определению тангенса угла $\alpha$: $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{y}{x}$.
Так как $y = \sin(\alpha)$ и $x = \cos(\alpha)$, подставляем эти значения в определение тангенса.
Получаем: $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
Это тождество верно для всех углов $\alpha$, для которых знаменатель не равен нулю, то есть $\cos(\alpha) \neq 0$, что соответствует $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

$\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Доказательство:
По определению котангенса угла $\alpha$: $\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{x}{y}$.
Так как $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$, подставляем эти значения в определение котангенса.
Получаем: $\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
Это тождество верно для всех углов $\alpha$, для которых знаменатель не равен нулю, то есть $\sin(\alpha) \neq 0$, что соответствует $\alpha \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

$\operatorname{tg}(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha) = 1$

Доказательство:
Используем ранее доказанные тождества для тангенса и котангенса.
$\operatorname{tg}(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
При условии, что $\sin(\alpha) \neq 0$ и $\cos(\alpha) \neq 0$, мы можем сократить дроби.
$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = 1$.
Условие $\sin(\alpha) \neq 0$ и $\cos(\alpha) \neq 0$ означает, что $\alpha \neq \frac{\pi n}{2}$ для любого целого $n$.
Ответ: $\operatorname{tg}(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha) = 1$.

$1 + \operatorname{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$

Доказательство:
Возьмем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Разделим обе части равенства на $\cos^2(\alpha)$, при условии, что $\cos(\alpha) \neq 0$.
$\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + \frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.
Поскольку $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \operatorname{tg}(\alpha)$, то $\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \operatorname{tg}^2(\alpha)$. А $\frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = 1$.
Тогда равенство принимает вид: $\operatorname{tg}^2(\alpha) + 1 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.
Ответ: $1 + \operatorname{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.

$1 + \operatorname{ctg}^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$

Доказательство:
Возьмем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Разделим обе части равенства на $\sin^2(\alpha)$, при условии, что $\sin(\alpha) \neq 0$.
$\frac{\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} + \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.
Поскольку $\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \operatorname{ctg}(\alpha)$, то $\frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \operatorname{ctg}^2(\alpha)$. А $\frac{\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = 1$.
Тогда равенство принимает вид: $1 + \operatorname{ctg}^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.
Ответ: $1 + \operatorname{ctg}^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.