Номер 636, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 636, страница 185.

Условие.

636. Упростите выражение и найдите его значение:

а) $\frac{1 - 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$ при $\alpha = \frac{\pi}{6}$;

б) $\operatorname{tg} \alpha + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha - 1}$ при $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$;

в) $\operatorname{ctg}^2 \alpha \cdot (\cos^2 \alpha - 1) + 2\cos^2 \alpha$ при $\alpha = \frac{7\pi}{3}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Упростим выражение $\frac{1 - 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ в числителе и формулу разности квадратов в знаменателе.

Числитель: $1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$.

Знаменатель: $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)$.

Тогда выражение принимает вид:

$\frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2}{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$.

Чтобы упростить вычисления, разделим числитель и знаменатель полученной дроби на $\cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):

$\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\tan \alpha - 1}{\tan \alpha + 1}$.

Теперь найдем значение выражения при $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

$\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставим в упрощенное выражение:

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - 1}{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1} = \frac{\frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} - 2$.

Ответ: $\sqrt{3} - 2$.

б) Упростим выражение $\operatorname{tg} \alpha + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha - 1}$.

Заменим $\operatorname{tg} \alpha$ на $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha - 1} = \frac{\sin \alpha (\sin \alpha - 1) + \cos \alpha \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha (\sin \alpha - 1)} = \frac{\sin^2 \alpha - \sin \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos \alpha (\sin \alpha - 1)}$.

Используя тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$\frac{( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - \sin \alpha}{\cos \alpha (\sin \alpha - 1)} = \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha (\sin \alpha - 1)} = \frac{-(\sin \alpha - 1)}{\cos \alpha (\sin \alpha - 1)}$.

Сократив на $(\sin \alpha - 1)$ (при $\sin \alpha \neq 1$), получим $-\frac{1}{\cos \alpha}$.

Теперь найдем значение выражения при $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$.

$\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим в упрощенное выражение:

$-\frac{1}{\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)} = -\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

в) Упростим выражение $\operatorname{ctg}^2 \alpha \cdot (\cos^2 \alpha - 1) + 2\cos^2 \alpha$.

Используем тождества $\operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$ и $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.

Подставим эти тождества в выражение:

$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot (-\sin^2 \alpha) + 2\cos^2 \alpha$.

Сократив $\sin^2 \alpha$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$), получим:

$-\cos^2 \alpha + 2\cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Теперь найдем значение выражения при $\alpha = \frac{7\pi}{3}$.

Угол $\frac{7\pi}{3}$ можно представить как $\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.

Так как период косинуса $2\pi$, то $\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Тогда значение выражения равно:

$\cos^2\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.