Номер 642, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 642, страница 186.

Условие.

642. Упростите выражение:

а) $\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} - \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$ при $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi,$

б) $\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} - \sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}$ при $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для упрощения выражения $\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} - \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$ при $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Из этого тождества следуют формулы: $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$ и $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Подставим их в исходное выражение:
$\sqrt{\sin^2 \alpha} - \sqrt{\cos^2 \alpha}$
Используя свойство корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$|\sin \alpha| - |\cos \alpha|$
Угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти синус положителен ($\sin \alpha > 0$), а косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$).
Следовательно, раскрываем модули:
$|\sin \alpha| = \sin \alpha$
$|\cos \alpha| = -\cos \alpha$
Подставляем раскрытые модули в выражение:
$\sin \alpha - (-\cos \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$

Ответ: $\sin \alpha + \cos \alpha$

б) Для упрощения выражения $\sqrt{1 + \tg^2 \alpha} - \sqrt{1 + \ctg^2 \alpha}$ при $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:
$1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.
Подставим их в исходное выражение:
$\sqrt{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} - \sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha}}$
Используя свойство корня, получаем:
$\frac{1}{|\cos \alpha|} - \frac{1}{|\sin \alpha|}$
Угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, что соответствует четвертой координатной четверти. В четвертой четверти косинус положителен ($\cos \alpha > 0$), а синус отрицателен ($\sin \alpha < 0$).
Следовательно, раскрываем модули:
$|\cos \alpha| = \cos \alpha$
$|\sin \alpha| = -\sin \alpha$
Подставляем раскрытые модули в выражение:
$\frac{1}{\cos \alpha} - \frac{1}{-\sin \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha}$
Можно также представить это выражение в виде $\sec \alpha + \csc \alpha$.

Ответ: $\frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha}$