Номер 638, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 638, страница 186.

Условие.

638. Найдите значения остальных тригонометрических функций, если известно, что:

a) $sin \alpha = -\frac{2}{3}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

б) $cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

в) $tg \alpha = -\frac{24}{7}$ и $\pi < \alpha < 2\pi$;

г) $ctg \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дано: $ \sin \alpha = -\frac{2}{3} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $. Это третья координатная четверть, в которой косинус отрицателен, а тангенс и котангенс положительны.

1. Найдем $ \cos \alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $.
Поскольку угол $ \alpha $ находится в третьей четверти, $ \cos \alpha < 0 $, следовательно, $ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} $.

2. Найдем $ \operatorname{tg} \alpha $ по определению: $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{-2/3}{-\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $.

3. Найдем $ \operatorname{ctg} \alpha $ как величину, обратную тангенсу: $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} $.
$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{2/\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Ответ: $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}, \operatorname{tg} \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} $.

б)

Дано: $ \cos \alpha = \frac{5}{13} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $. Это четвертая координатная четверть, в которой синус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $ \sin \alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.
Поскольку угол $ \alpha $ находится в четвертой четверти, $ \sin \alpha < 0 $, следовательно, $ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} $.

2. Найдем $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5} $.

3. Найдем $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} $.
$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12} $.

Ответ: $ \sin \alpha = -\frac{12}{13}, \operatorname{tg} \alpha = -\frac{12}{5}, \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{5}{12} $.

в)

Дано: $ \operatorname{tg} \alpha = -\frac{24}{7} $ и $ \pi < \alpha < 2\pi $.
Заданный интервал для угла $ \alpha $ включает третью и четвертую четверти. Так как тангенс отрицателен ($ \operatorname{tg} \alpha < 0 $), угол $ \alpha $ должен находиться в четверти, где синус и косинус имеют разные знаки. В интервале $ (\pi, 2\pi) $ это четвертая четверть, то есть $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $. В этой четверти $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha > 0 $.

1. Найдем $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} $.
$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-24/7} = -\frac{7}{24} $.

2. Найдем $ \cos \alpha $ с помощью тождества $ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.
$ \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \left(-\frac{24}{7}\right)^2 = 1 + \frac{576}{49} = \frac{49 + 576}{49} = \frac{625}{49} $.
$ \cos^2 \alpha = \frac{49}{625} $.
Поскольку угол $ \alpha $ находится в четвертой четверти, $ \cos \alpha > 0 $, следовательно, $ \cos \alpha = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25} $.

3. Найдем $ \sin \alpha $ из соотношения $ \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha $.
$ \sin \alpha = \left(-\frac{24}{7}\right) \cdot \frac{7}{25} = -\frac{24}{25} $.

Ответ: $ \sin \alpha = -\frac{24}{25}, \cos \alpha = \frac{7}{25}, \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{7}{24} $.

г)

Дано: $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.
Заданный интервал для угла $ \alpha $ включает вторую и третью четверти. Так как котангенс положителен ($ \operatorname{ctg} \alpha > 0 $), угол $ \alpha $ должен находиться в четверти, где синус и косинус имеют одинаковые знаки. В интервале $ (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) $ это третья четверть, то есть $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $. В этой четверти $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha < 0 $.

1. Найдем $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} $.
$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}/3} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7} $.

2. Найдем $ \sin \alpha $ с помощью тождества $ 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.
$ \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)^2 = 1 + \frac{7}{9} = \frac{16}{9} $.
$ \sin^2 \alpha = \frac{9}{16} $.
Поскольку угол $ \alpha $ находится в третьей четверти, $ \sin \alpha < 0 $, следовательно, $ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{16}} = -\frac{3}{4} $.

3. Найдем $ \cos \alpha $ из соотношения $ \cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha $.
$ \cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{\sqrt{7}}{4} $.

Ответ: $ \sin \alpha = -\frac{3}{4}, \cos \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}, \operatorname{tg} \alpha = \frac{3\sqrt{7}}{7} $.