Номер 629, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 629, страница 182.

Условие.

629. Докажите, что не может принимать отрицательные значения вы-

ражение:

а) $\frac{\sin x + \operatorname{tg} x}{\cos x + \operatorname{ctg} x}$

б) $\frac{\sin x - \operatorname{tg} x}{\cos x - \operatorname{ctg} x}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Рассмотрим выражение $\frac{\sin x + \tg x}{\cos x + \ctg x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения. Для существования тангенса и котангенса, а также для того, чтобы знаменатель не был равен нулю, должны выполняться следующие условия:

1. $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. (из определения $\tg x$)

2. $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. (из определения $\ctg x$)

3. Знаменатель дроби не равен нулю: $\cos x + \ctg x \neq 0$.

Преобразуем данное выражение, заменив тангенс и котангенс их определениями через синус и косинус: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Преобразуем числитель:

$\sin x + \tg x = \sin x + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x \cos x + \sin x}{\cos x} = \frac{\sin x (1 + \cos x)}{\cos x}$.

Преобразуем знаменатель:

$\cos x + \ctg x = \cos x + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x \cos x + \cos x}{\sin x} = \frac{\cos x (1 + \sin x)}{\sin x}$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{\sin x (1 + \cos x)}{\cos x}}{\frac{\cos x (1 + \sin x)}{\sin x}} = \frac{\sin x (1 + \cos x)}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x (1 + \sin x)} = \frac{\sin^2 x (1 + \cos x)}{\cos^2 x (1 + \sin x)}$.

Проанализируем знак полученного выражения с учетом ОДЗ.

Так как по ОДЗ $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, то их квадраты всегда строго положительны: $\sin^2 x > 0$ и $\cos^2 x > 0$.

Рассмотрим знаки выражений в скобках. Мы знаем, что $-1 \le \cos x \le 1$ и $-1 \le \sin x \le 1$.

Следовательно, $1 + \cos x \ge 0$. Равенство нулю ($1 + \cos x = 0$) возможно только при $\cos x = -1$, что соответствует $x = \pi + 2\pi k$. Но при этих значениях $\sin x = 0$, что исключено из ОДЗ. Значит, в области определения выражения $1 + \cos x > 0$.

Аналогично, $1 + \sin x \ge 0$. Равенство нулю ($1 + \sin x = 0$) возможно при $\sin x = -1$. В этом случае знаменатель исходного выражения $\cos x + \ctg x = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) + \ctg(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0 + \frac{0}{-1} = 0$, что недопустимо. Значит, в области определения выражения $1 + \sin x > 0$.

Все множители в числителе и знаменателе итогового выражения ($\sin^2 x$, $1 + \cos x$, $\cos^2 x$, $1 + \sin x$) строго положительны. Следовательно, все выражение всегда положительно.

Ответ: Выражение принимает только положительные значения в своей области определения, а значит, не может принимать отрицательные значения.

б) Рассмотрим выражение $\frac{\sin x - \tg x}{\cos x - \ctg x}$.

ОДЗ этого выражения аналогично предыдущему пункту: $\sin x \neq 0$, $\cos x \neq 0$ и $\cos x - \ctg x \neq 0$.

Преобразуем выражение.

Преобразуем числитель:

$\sin x - \tg x = \sin x - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x \cos x - \sin x}{\cos x} = \frac{\sin x (\cos x - 1)}{\cos x}$.

Преобразуем знаменатель:

$\cos x - \ctg x = \cos x - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x \cos x - \cos x}{\sin x} = \frac{\cos x (\sin x - 1)}{\sin x}$.

Подставим преобразованные части в исходную дробь:

$\frac{\frac{\sin x (\cos x - 1)}{\cos x}}{\frac{\cos x (\sin x - 1)}{\sin x}} = \frac{\sin x (\cos x - 1)}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x (\sin x - 1)} = \frac{\sin^2 x (\cos x - 1)}{\cos^2 x (\sin x - 1)}$.

Проанализируем знак полученного выражения.

Как и в предыдущем пункте, в ОДЗ $\sin^2 x > 0$ и $\cos^2 x > 0$.

Рассмотрим знаки выражений в скобках. Мы знаем, что $-1 \le \cos x \le 1$ и $-1 \le \sin x \le 1$.

Следовательно, $\cos x - 1 \le 0$. Равенство нулю ($\cos x - 1 = 0$) возможно только при $\cos x = 1$, что соответствует $x = 2\pi k$. При этих значениях $\sin x = 0$, что исключено из ОДЗ. Значит, в области определения выражения $\cos x - 1 < 0$.

Аналогично, $\sin x - 1 \le 0$. Равенство нулю ($\sin x - 1 = 0$) возможно при $\sin x = 1$. В этом случае знаменатель исходного выражения $\cos x - \ctg x = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) - \ctg(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0 - \frac{0}{1} = 0$, что недопустимо. Значит, в области определения выражения $\sin x - 1 < 0$.

Таким образом, выражение $\frac{\sin^2 x (\cos x - 1)}{\cos^2 x (\sin x - 1)}$ имеет следующую структуру знаков: $\frac{(>0) \cdot (<0)}{(>0) \cdot (<0)}$. Отношение отрицательного числа в числителе к отрицательному числу в знаменателе дает положительный результат.

Следовательно, все выражение всегда положительно.

Ответ: Выражение принимает только положительные значения в своей области определения, а значит, не может принимать отрицательные значения.