Номер 626, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 626, страница 182.

Условие.

626. Используя свойства функции $y = \sin x$ или $y = \cos x$, найдите значения $x$, удовлетворяющие условию:

а) $\sin \frac{2x}{3} \ge 0;$

в) $\sin 3x < 0;$

б) $\cos \frac{x}{6} < 0;$

г) $\cos 2x \ge 0.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $ \sin \frac{2x}{3} \ge 0 $

Для решения этого неравенства воспользуемся свойством функции $ y = \sin t $. Эта функция принимает неотрицательные значения ($ \sin t \ge 0 $), когда ее аргумент $ t $ находится в промежутке от $ 0 $ до $ \pi $, включая концы. С учетом периодичности функции синус (период $ 2\pi $), общее решение для аргумента $ t $ будет:

$ 2\pi k \le t \le \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Сделаем обратную замену $ t = \frac{2x}{3} $:

$ 2\pi k \le \frac{2x}{3} \le \pi + 2\pi k $

Чтобы найти $ x $, умножим все части двойного неравенства на $ \frac{3}{2} $:

$ 2\pi k \cdot \frac{3}{2} \le \frac{2x}{3} \cdot \frac{3}{2} \le (\pi + 2\pi k) \cdot \frac{3}{2} $

$ 3\pi k \le x \le \frac{3\pi}{2} + 3\pi k $

Ответ: $ x \in [3\pi k; \frac{3\pi}{2} + 3\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos \frac{x}{6} < 0 $

Рассмотрим свойство функции $ y = \cos t $. Эта функция принимает отрицательные значения ($ \cos t < 0 $), когда ее аргумент $ t $ находится в промежутке от $ \frac{\pi}{2} $ до $ \frac{3\pi}{2} $. С учетом периода функции косинус, равного $ 2\pi $, общее решение для аргумента $ t $ имеет вид:

$ \frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Произведем обратную замену $ t = \frac{x}{6} $:

$ \frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{6} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $

Для нахождения $ x $ умножим все части неравенства на $ 6 $:

$ (\frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cdot 6 < \frac{x}{6} \cdot 6 < (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \cdot 6 $

$ 3\pi + 12\pi k < x < 9\pi + 12\pi k $

Ответ: $ x \in (3\pi + 12\pi k; 9\pi + 12\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin 3x < 0 $

Функция $ y = \sin t $ принимает отрицательные значения ($ \sin t < 0 $), когда ее аргумент $ t $ находится в промежутке от $ \pi $ до $ 2\pi $. Учитывая периодичность, общее решение для $ t $ будет:

$ \pi + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Сделаем обратную замену $ t = 3x $:

$ \pi + 2\pi k < 3x < 2\pi + 2\pi k $

Чтобы найти $ x $, разделим все части двойного неравенства на $ 3 $:

$ \frac{\pi + 2\pi k}{3} < x < \frac{2\pi + 2\pi k}{3} $

$ \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} $

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cos 2x \ge 0 $

Функция $ y = \cos t $ принимает неотрицательные значения ($ \cos t \ge 0 $), когда ее аргумент $ t $ находится в промежутке от $ -\frac{\pi}{2} $ до $ \frac{\pi}{2} $, включая концы. С учетом периода $ 2\pi $ общее решение для $ t $ будет:

$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Произведем обратную замену $ t = 2x $:

$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

Для нахождения $ x $ разделим все части неравенства на $ 2 $:

$ \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{2} \le x \le \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{2} $

$ -\frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi k $

Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.