Номер 626, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 626, страница 182.
№626 (с. 182)
Условие. №626 (с. 182)
скриншот условия

626. Используя свойства функции $y = \sin x$ или $y = \cos x$, найдите значения $x$, удовлетворяющие условию:
а) $\sin \frac{2x}{3} \ge 0;$
в) $\sin 3x < 0;$
б) $\cos \frac{x}{6} < 0;$
г) $\cos 2x \ge 0.$
Решение. №626 (с. 182)

Решение 2 (rus). №626 (с. 182)
а) $ \sin \frac{2x}{3} \ge 0 $
Для решения этого неравенства воспользуемся свойством функции $ y = \sin t $. Эта функция принимает неотрицательные значения ($ \sin t \ge 0 $), когда ее аргумент $ t $ находится в промежутке от $ 0 $ до $ \pi $, включая концы. С учетом периодичности функции синус (период $ 2\pi $), общее решение для аргумента $ t $ будет:
$ 2\pi k \le t \le \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Сделаем обратную замену $ t = \frac{2x}{3} $:
$ 2\pi k \le \frac{2x}{3} \le \pi + 2\pi k $
Чтобы найти $ x $, умножим все части двойного неравенства на $ \frac{3}{2} $:
$ 2\pi k \cdot \frac{3}{2} \le \frac{2x}{3} \cdot \frac{3}{2} \le (\pi + 2\pi k) \cdot \frac{3}{2} $
$ 3\pi k \le x \le \frac{3\pi}{2} + 3\pi k $
Ответ: $ x \in [3\pi k; \frac{3\pi}{2} + 3\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
б) $ \cos \frac{x}{6} < 0 $
Рассмотрим свойство функции $ y = \cos t $. Эта функция принимает отрицательные значения ($ \cos t < 0 $), когда ее аргумент $ t $ находится в промежутке от $ \frac{\pi}{2} $ до $ \frac{3\pi}{2} $. С учетом периода функции косинус, равного $ 2\pi $, общее решение для аргумента $ t $ имеет вид:
$ \frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Произведем обратную замену $ t = \frac{x}{6} $:
$ \frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{6} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $
Для нахождения $ x $ умножим все части неравенства на $ 6 $:
$ (\frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cdot 6 < \frac{x}{6} \cdot 6 < (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \cdot 6 $
$ 3\pi + 12\pi k < x < 9\pi + 12\pi k $
Ответ: $ x \in (3\pi + 12\pi k; 9\pi + 12\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
в) $ \sin 3x < 0 $
Функция $ y = \sin t $ принимает отрицательные значения ($ \sin t < 0 $), когда ее аргумент $ t $ находится в промежутке от $ \pi $ до $ 2\pi $. Учитывая периодичность, общее решение для $ t $ будет:
$ \pi + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Сделаем обратную замену $ t = 3x $:
$ \pi + 2\pi k < 3x < 2\pi + 2\pi k $
Чтобы найти $ x $, разделим все части двойного неравенства на $ 3 $:
$ \frac{\pi + 2\pi k}{3} < x < \frac{2\pi + 2\pi k}{3} $
$ \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} $
Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
г) $ \cos 2x \ge 0 $
Функция $ y = \cos t $ принимает неотрицательные значения ($ \cos t \ge 0 $), когда ее аргумент $ t $ находится в промежутке от $ -\frac{\pi}{2} $ до $ \frac{\pi}{2} $, включая концы. С учетом периода $ 2\pi $ общее решение для $ t $ будет:
$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Произведем обратную замену $ t = 2x $:
$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k $
Для нахождения $ x $ разделим все части неравенства на $ 2 $:
$ \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{2} \le x \le \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{2} $
$ -\frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi k $
Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 626 расположенного на странице 182 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №626 (с. 182), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.