Номер 614, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 614, страница 180.
№614 (с. 180)
Условие. №614 (с. 180)
скриншот условия

614. Используя периодичность и нечетность функций $y = \text{tg } x$ и $y = \text{ctg } x$, вычислите их значения при $x$, равном:
а) $-\frac{5\pi}{4}$;
б) $\frac{23\pi}{6}$;
в) $-\frac{22\pi}{3}$;
г) $-\frac{23\pi}{4}$.
Решение. №614 (с. 180)

Решение 2 (rus). №614 (с. 180)
Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами функций тангенса и котангенса:
1. Периодичность: Наименьший положительный период для функций $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ равен $\pi$. Это означает, что $\tan(x + k\pi) = \tan(x)$ и $\cot(x + k\pi) = \cot(x)$ для любого целого числа $k$.
2. Нечетность: Обе функции являются нечетными, то есть $\tan(-x) = -\tan(x)$ и $\cot(-x) = -\cot(x)$.
а) $x = -\frac{5\pi}{4}$
Вычислим значение тангенса:
Используя свойство нечетности: $\tan(-\frac{5\pi}{4}) = -\tan(\frac{5\pi}{4})$.
Теперь используем свойство периодичности. Представим $\frac{5\pi}{4}$ в виде $\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\tan(\frac{5\pi}{4}) = \tan(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $\tan(-\frac{5\pi}{4}) = -1$.
Вычислим значение котангенса:
Используя свойство нечетности: $\cot(-\frac{5\pi}{4}) = -\cot(\frac{5\pi}{4})$.
Используя свойство периодичности: $\cot(\frac{5\pi}{4}) = \cot(\pi + \frac{\pi}{4}) = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $\cot(-\frac{5\pi}{4}) = -1$.
Ответ: $\tan(-\frac{5\pi}{4}) = -1$, $\cot(-\frac{5\pi}{4}) = -1$.
б) $x = \frac{23\pi}{6}$
Вычислим значение тангенса:
Используя свойство периодичности, выделим целое число периодов $\pi$.
$\frac{23\pi}{6} = \frac{18\pi + 5\pi}{6} = 3\pi + \frac{5\pi}{6}$.
$\tan(\frac{23\pi}{6}) = \tan(3\pi + \frac{5\pi}{6}) = \tan(\frac{5\pi}{6})$.
Теперь представим $\frac{5\pi}{6}$ как $\pi - \frac{\pi}{6}$.
$\tan(\frac{5\pi}{6}) = \tan(\pi - \frac{\pi}{6}) = \tan(-\frac{\pi}{6})$.
Используя свойство нечетности: $\tan(-\frac{\pi}{6}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Вычислим значение котангенса:
Аналогично, $\cot(\frac{23\pi}{6}) = \cot(3\pi + \frac{5\pi}{6}) = \cot(\frac{5\pi}{6}) = \cot(\pi - \frac{\pi}{6}) = \cot(-\frac{\pi}{6})$.
Используя свойство нечетности: $\cot(-\frac{\pi}{6}) = -\cot(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $\tan(\frac{23\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot(\frac{23\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.
в) $x = -\frac{22\pi}{3}$
Вычислим значение тангенса:
Используя свойство нечетности: $\tan(-\frac{22\pi}{3}) = -\tan(\frac{22\pi}{3})$.
Используем периодичность для $\tan(\frac{22\pi}{3})$. Представим $\frac{22\pi}{3}$ как $7\pi + \frac{\pi}{3}$.
$\tan(\frac{22\pi}{3}) = \tan(7\pi + \frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Следовательно, $\tan(-\frac{22\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
Вычислим значение котангенса:
Используя свойство нечетности: $\cot(-\frac{22\pi}{3}) = -\cot(\frac{22\pi}{3})$.
Используем периодичность: $\cot(\frac{22\pi}{3}) = \cot(7\pi + \frac{\pi}{3}) = \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $\cot(-\frac{22\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\tan(-\frac{22\pi}{3}) = -\sqrt{3}$, $\cot(-\frac{22\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
г) $x = -\frac{23\pi}{4}$
Вычислим значение тангенса:
Используя свойство периодичности, прибавим $6\pi$ (что равно $6$ периодам) к аргументу:
$\tan(-\frac{23\pi}{4}) = \tan(-\frac{23\pi}{4} + 6\pi) = \tan(-\frac{23\pi}{4} + \frac{24\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Вычислим значение котангенса:
Аналогично, используя периодичность:
$\cot(-\frac{23\pi}{4}) = \cot(-\frac{23\pi}{4} + 6\pi) = \cot(-\frac{23\pi}{4} + \frac{24\pi}{4}) = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Ответ: $\tan(-\frac{23\pi}{4}) = 1$, $\cot(-\frac{23\pi}{4}) = 1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 614 расположенного на странице 180 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №614 (с. 180), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.