Номер 614, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 614, страница 180.

Условие.

614. Используя периодичность и нечетность функций $y = \text{tg } x$ и $y = \text{ctg } x$, вычислите их значения при $x$, равном:

а) $-\frac{5\pi}{4}$;

б) $\frac{23\pi}{6}$;

в) $-\frac{22\pi}{3}$;

г) $-\frac{23\pi}{4}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами функций тангенса и котангенса:
1. Периодичность: Наименьший положительный период для функций $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ равен $\pi$. Это означает, что $\tan(x + k\pi) = \tan(x)$ и $\cot(x + k\pi) = \cot(x)$ для любого целого числа $k$.
2. Нечетность: Обе функции являются нечетными, то есть $\tan(-x) = -\tan(x)$ и $\cot(-x) = -\cot(x)$.

а) $x = -\frac{5\pi}{4}$

Вычислим значение тангенса:
Используя свойство нечетности: $\tan(-\frac{5\pi}{4}) = -\tan(\frac{5\pi}{4})$.
Теперь используем свойство периодичности. Представим $\frac{5\pi}{4}$ в виде $\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\tan(\frac{5\pi}{4}) = \tan(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $\tan(-\frac{5\pi}{4}) = -1$.
Вычислим значение котангенса:
Используя свойство нечетности: $\cot(-\frac{5\pi}{4}) = -\cot(\frac{5\pi}{4})$.
Используя свойство периодичности: $\cot(\frac{5\pi}{4}) = \cot(\pi + \frac{\pi}{4}) = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $\cot(-\frac{5\pi}{4}) = -1$.
Ответ: $\tan(-\frac{5\pi}{4}) = -1$, $\cot(-\frac{5\pi}{4}) = -1$.

б) $x = \frac{23\pi}{6}$

Вычислим значение тангенса:
Используя свойство периодичности, выделим целое число периодов $\pi$.
$\frac{23\pi}{6} = \frac{18\pi + 5\pi}{6} = 3\pi + \frac{5\pi}{6}$.
$\tan(\frac{23\pi}{6}) = \tan(3\pi + \frac{5\pi}{6}) = \tan(\frac{5\pi}{6})$.
Теперь представим $\frac{5\pi}{6}$ как $\pi - \frac{\pi}{6}$.
$\tan(\frac{5\pi}{6}) = \tan(\pi - \frac{\pi}{6}) = \tan(-\frac{\pi}{6})$.
Используя свойство нечетности: $\tan(-\frac{\pi}{6}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Вычислим значение котангенса:
Аналогично, $\cot(\frac{23\pi}{6}) = \cot(3\pi + \frac{5\pi}{6}) = \cot(\frac{5\pi}{6}) = \cot(\pi - \frac{\pi}{6}) = \cot(-\frac{\pi}{6})$.
Используя свойство нечетности: $\cot(-\frac{\pi}{6}) = -\cot(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $\tan(\frac{23\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot(\frac{23\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.

в) $x = -\frac{22\pi}{3}$

Вычислим значение тангенса:
Используя свойство нечетности: $\tan(-\frac{22\pi}{3}) = -\tan(\frac{22\pi}{3})$.
Используем периодичность для $\tan(\frac{22\pi}{3})$. Представим $\frac{22\pi}{3}$ как $7\pi + \frac{\pi}{3}$.
$\tan(\frac{22\pi}{3}) = \tan(7\pi + \frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Следовательно, $\tan(-\frac{22\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
Вычислим значение котангенса:
Используя свойство нечетности: $\cot(-\frac{22\pi}{3}) = -\cot(\frac{22\pi}{3})$.
Используем периодичность: $\cot(\frac{22\pi}{3}) = \cot(7\pi + \frac{\pi}{3}) = \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $\cot(-\frac{22\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\tan(-\frac{22\pi}{3}) = -\sqrt{3}$, $\cot(-\frac{22\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) $x = -\frac{23\pi}{4}$

Вычислим значение тангенса:
Используя свойство периодичности, прибавим $6\pi$ (что равно $6$ периодам) к аргументу:
$\tan(-\frac{23\pi}{4}) = \tan(-\frac{23\pi}{4} + 6\pi) = \tan(-\frac{23\pi}{4} + \frac{24\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Вычислим значение котангенса:
Аналогично, используя периодичность:
$\cot(-\frac{23\pi}{4}) = \cot(-\frac{23\pi}{4} + 6\pi) = \cot(-\frac{23\pi}{4} + \frac{24\pi}{4}) = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Ответ: $\tan(-\frac{23\pi}{4}) = 1$, $\cot(-\frac{23\pi}{4}) = 1$.