Номер 612, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 612, страница 180.

Условие.

612. Установите, четной или нечетной является функция:

а) $y = x \cdot \text{tg} x;$

б) $y = 2\sin x - \text{ctg} x;$

в) $y = \text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x;$

г) $y = \text{ctg} x \cdot \cos x.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $y = x \cdot \text{tg}\,x$
Для исследования функции на четность или нечетность необходимо найти $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$.
Область определения функции $D(y)$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Данная область определения является симметричной относительно начала координат.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = (-x) \cdot \text{tg}(-x)$.
Используем свойства четности и нечетности функций:
1. $f(x) = x$ — нечетная функция, так как $f(-x) = -x = -f(x)$.
2. $g(x) = \text{tg}\,x$ — нечетная функция, так как $\text{tg}(-x) = -\text{tg}\,x$.
Произведение двух нечетных функций является четной функцией.
$y(-x) = (-x) \cdot (-\text{tg}\,x) = x \cdot \text{tg}\,x = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, исходная функция является четной.
Ответ: функция четная.

б) $y = 2\sin x - \text{ctg}\,x$
Область определения функции $D(y)$: $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = 2\sin(-x) - \text{ctg}(-x)$.
Используем свойства нечетности функций $\sin x$ и $\text{ctg}\,x$:
$\sin(-x) = -\sin x$
$\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}\,x$
Подставляем эти выражения в формулу для $y(-x)$:
$y(-x) = 2(-\sin x) - (-\text{ctg}\,x) = -2\sin x + \text{ctg}\,x = -(2\sin x - \text{ctg}\,x) = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, исходная функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

в) $y = \text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x$
Область определения функции $D(y)$: $x \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \text{tg}^2(-x) + \text{ctg}^2(-x) = (\text{tg}(-x))^2 + (\text{ctg}(-x))^2$.
Так как $\text{tg}\,x$ и $\text{ctg}\,x$ — нечетные функции:
$\text{tg}(-x) = -\text{tg}\,x$
$\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}\,x$
Тогда:
$y(-x) = (-\text{tg}\,x)^2 + (-\text{ctg}\,x)^2 = \text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, исходная функция является четной.
Ответ: функция четная.

г) $y = \text{ctg}\,x \cdot \cos x$
Область определения функции $D(y)$: $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \text{ctg}(-x) \cdot \cos(-x)$.
Используем свойства функций:
1. $f(x) = \text{ctg}\,x$ — нечетная функция, $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}\,x$.
2. $g(x) = \cos x$ — четная функция, $\cos(-x) = \cos x$.
Произведение нечетной и четной функций является нечетной функцией.
$y(-x) = (-\text{ctg}\,x) \cdot (\cos x) = -(\text{ctg}\,x \cdot \cos x) = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, исходная функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.