Номер 605, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 605, страница 179.

Условие.

605. Найдите нули функции:

а) $y = \sin 3x;$

в) $y = \sin\left(-\frac{1}{2}x\right);$

д) $y = \sin(x - 2);$

б) $y = \cos 2x;$

г) $y = \cos\left(\frac{1}{3}x\right);$

е) $y = \cos(4 - x).$

Решение.

Решение 2 (rus).

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции, нужно приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

а) $y = \sin 3x$

Приравниваем функцию к нулю: $\sin 3x = 0$.

Решаем уравнение относительно $3x$. Аргумент синуса равен нулю, когда он равен $\pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

$3x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Теперь выражаем $x$:

$x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \cos 2x$

Приравниваем функцию к нулю: $\cos 2x = 0$.

Решаем уравнение относительно $2x$. Аргумент косинуса равен нулю, когда он равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Выражаем $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \sin(-\frac{1}{2}x)$

Приравниваем функцию к нулю: $\sin(-\frac{1}{2}x) = 0$.

Так как синус – нечетная функция, $\sin(-a) = -\sin(a)$, то уравнение можно переписать как $-\sin(\frac{1}{2}x) = 0$, что равносильно $\sin(\frac{1}{2}x) = 0$.

Решаем уравнение относительно $\frac{1}{2}x$:

$\frac{1}{2}x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Выражаем $x$:

$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \cos(\frac{1}{3}x)$

Приравниваем функцию к нулю: $\cos(\frac{1}{3}x) = 0$.

Решаем уравнение относительно $\frac{1}{3}x$:

$\frac{1}{3}x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Выражаем $x$:

$x = 3(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) $y = \sin(x - 2)$

Приравниваем функцию к нулю: $\sin(x - 2) = 0$.

Решаем уравнение относительно $(x - 2)$:

$x - 2 = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Выражаем $x$:

$x = 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е) $y = \cos(4 - x)$

Приравниваем функцию к нулю: $\cos(4 - x) = 0$.

Так как косинус – четная функция, $\cos(-a) = \cos(a)$, то $\cos(4 - x) = \cos(-(x - 4)) = \cos(x - 4)$.

Получаем уравнение $\cos(x - 4) = 0$.

Решаем уравнение относительно $(x - 4)$:

$x - 4 = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Выражаем $x$:

$x = 4 + \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 4 + \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.