Номер 606, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 606, страница 179.

Условие.

606. Укажите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $y = \sin 2x;$

б) $y = \cos 3x;$

в) $y = \sin \pi x;$

г) $y = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right).$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = \sin 2x$, найдем ее производную. Производная функции $y'$ по правилу дифференцирования сложной функции равна:

$y' = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$.

Функция возрастает на промежутках, где ее производная неотрицательна, то есть $y' \ge 0$. Решим неравенство $2\cos 2x \ge 0$, или $\cos 2x \ge 0$. Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса $2x$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ с учетом периодичности $2\pi k$. Получаем двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Разделив все части неравенства на 2, находим промежутки возрастания функции:

$[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in Z$.

Функция убывает на промежутках, где ее производная неположительна, то есть $y' \le 0$. Решим неравенство $2\cos 2x \le 0$, или $\cos 2x \le 0$. Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса $2x$ находится в промежутке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ с учетом периодичности. Получаем:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Разделив все части на 2, находим промежутки убывания функции:

$[\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in Z$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k]$ и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in Z$.

б) Для функции $y = \cos 3x$ найдем производную:

$y' = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin 3x$.

Промежутки возрастания ($y' \ge 0$): решим неравенство $-3\sin 3x \ge 0$, что эквивалентно $\sin 3x \le 0$. Это выполняется при:

$\pi + 2\pi k \le 3x \le 2\pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Разделив на 3, получаем промежутки возрастания:

$[\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}]$, где $k \in Z$.

Промежутки убывания ($y' \le 0$): решим неравенство $-3\sin 3x \le 0$, что эквивалентно $\sin 3x \ge 0$. Это выполняется при:

$2\pi k \le 3x \le \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Разделив на 3, получаем промежутки убывания:

$[\frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}]$, где $k \in Z$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}]$ и убывает на промежутках $[\frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}]$, где $k \in Z$.

в) Для функции $y = \sin \pi x$ найдем производную:

$y' = (\sin \pi x)' = \cos(\pi x) \cdot (\pi x)' = \pi \cos(\pi x)$.

Промежутки возрастания ($y' \ge 0$): решим неравенство $\pi \cos(\pi x) \ge 0$, что эквивалентно $\cos(\pi x) \ge 0$. Это выполняется при:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \pi x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Разделив на $\pi$, получаем промежутки возрастания:

$[-\frac{1}{2} + 2k; \frac{1}{2} + 2k]$, где $k \in Z$.

Промежутки убывания ($y' \le 0$): решим неравенство $\pi \cos(\pi x) \le 0$, что эквивалентно $\cos(\pi x) \le 0$. Это выполняется при:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \pi x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Разделив на $\pi$, получаем промежутки убывания:

$[\frac{1}{2} + 2k; \frac{3}{2} + 2k]$, где $k \in Z$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{1}{2} + 2k; \frac{1}{2} + 2k]$ и убывает на промежутках $[\frac{1}{2} + 2k; \frac{3}{2} + 2k]$, где $k \in Z$.

г) Для функции $y = \cos(\frac{\pi}{2}x)$ найдем производную:

$y' = (\cos(\frac{\pi}{2}x))' = -\sin(\frac{\pi}{2}x) \cdot (\frac{\pi}{2}x)' = -\frac{\pi}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)$.

Промежутки возрастания ($y' \ge 0$): решим неравенство $-\frac{\pi}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x) \ge 0$, что эквивалентно $\sin(\frac{\pi}{2}x) \le 0$. Это выполняется при:

$\pi + 2\pi k \le \frac{\pi}{2}x \le 2\pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Умножив на $\frac{2}{\pi}$, получаем промежутки возрастания:

$2 + 4k \le x \le 4 + 4k$, то есть $[2 + 4k; 4 + 4k]$, где $k \in Z$.

Промежутки убывания ($y' \le 0$): решим неравенство $-\frac{\pi}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x) \le 0$, что эквивалентно $\sin(\frac{\pi}{2}x) \ge 0$. Это выполняется при:

$2\pi k \le \frac{\pi}{2}x \le \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Умножив на $\frac{2}{\pi}$, получаем промежутки убывания:

$4k \le x \le 2 + 4k$, то есть $[4k; 2 + 4k]$, где $k \in Z$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[2 + 4k; 4 + 4k]$ и убывает на промежутках $[4k; 2 + 4k]$, где $k \in Z$.