Номер 613, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 613, страница 180.

Условие.

613. Используя периодичность тригонометрических функций, запишите значение функции так, чтобы аргумент был выражен наименьшим положительным числом:

а) $tg \frac{39\pi}{9}$;

б) $ctg \frac{58\pi}{5}$;

в) $tg \left(-\frac{11\pi}{3}\right)$;

г) $ctg \left(-\frac{73\pi}{4}\right)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Основной период для функций тангенса ($tg(x)$) и котангенса ($ctg(x)$) равен $π$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняются равенства:

$tg(x + kπ) = tg(x)$

$ctg(x + kπ) = ctg(x)$

Наша задача — для каждого выражения найти такое целое $k$, чтобы новый аргумент стал наименьшим положительным числом, то есть принадлежал интервалу $(0, \pi]$.

а) $tg\frac{39\pi}{9}$

Сначала упростим дробь в аргументе: $\frac{39\pi}{9} = \frac{13\pi}{3}$.

Теперь представим аргумент в виде суммы, выделив целое число периодов. Разделим 13 на 3:

$13 : 3 = 4$ с остатком 1.

Таким образом, $\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = \frac{12\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$.

Используя периодичность тангенса, отбросим целое число периодов $4\pi$ (здесь $k=4$):

$tg(\frac{39\pi}{9}) = tg(\frac{13\pi}{3}) = tg(4\pi + \frac{\pi}{3}) = tg(\frac{\pi}{3})$.

Аргумент $\frac{\pi}{3}$ является наименьшим положительным числом.

Ответ: $tg(\frac{\pi}{3})$.

б) $ctg\frac{58\pi}{5}$

Представим аргумент в виде суммы, выделив целое число периодов. Разделим 58 на 5:

$58 : 5 = 11$ с остатком 3.

Таким образом, $\frac{58\pi}{5} = \frac{55\pi + 3\pi}{5} = \frac{55\pi}{5} + \frac{3\pi}{5} = 11\pi + \frac{3\pi}{5}$.

Используя периодичность котангенса, отбросим целое число периодов $11\pi$ (здесь $k=11$):

$ctg(\frac{58\pi}{5}) = ctg(11\pi + \frac{3\pi}{5}) = ctg(\frac{3\pi}{5})$.

Аргумент $\frac{3\pi}{5}$ является наименьшим положительным числом.

Ответ: $ctg(\frac{3\pi}{5})$.

в) $tg(-\frac{11\pi}{3})$

Аргумент функции отрицательный. Чтобы сделать его положительным, нужно прибавить целое число периодов $k\pi$ так, чтобы результат был наименьшим положительным числом.

Найдем такое наименьшее целое $k$, чтобы выполнялось неравенство: $-\frac{11\pi}{3} + k\pi > 0$.

$k\pi > \frac{11\pi}{3}$

$k > \frac{11}{3}$, то есть $k > 3.66...$

Наименьшее целое $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k=4$.

Прибавим $4\pi$ к аргументу:

$tg(-\frac{11\pi}{3}) = tg(-\frac{11\pi}{3} + 4\pi) = tg(-\frac{11\pi}{3} + \frac{12\pi}{3}) = tg(\frac{\pi}{3})$.

Аргумент $\frac{\pi}{3}$ является наименьшим положительным числом.

Ответ: $tg(\frac{\pi}{3})$.

г) $ctg(-\frac{73\pi}{4})$

Аргумент функции отрицательный. Прибавим целое число периодов $k\pi$, чтобы получить наименьший положительный аргумент.

Найдем такое наименьшее целое $k$, чтобы выполнялось неравенство: $-\frac{73\pi}{4} + k\pi > 0$.

$k\pi > \frac{73\pi}{4}$

$k > \frac{73}{4}$, то есть $k > 18.25$

Наименьшее целое $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k=19$.

Прибавим $19\pi$ к аргументу:

$ctg(-\frac{73\pi}{4}) = ctg(-\frac{73\pi}{4} + 19\pi) = ctg(-\frac{73\pi}{4} + \frac{76\pi}{4}) = ctg(\frac{3\pi}{4})$.

Аргумент $\frac{3\pi}{4}$ является наименьшим положительным числом.

Ответ: $ctg(\frac{3\pi}{4})$.