Номер 592, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 592, страница 171.

Условие.

592. При каких значениях $\alpha$ не имеет смысла выражение:

а) $\frac{1}{\sin(-\alpha)};$

б) $\frac{5}{\cos(-\alpha)};$

в) $\operatorname{tg}(\alpha + \frac{\pi}{3});$

г) $\operatorname{ctg}(\alpha - \frac{\pi}{4})?$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дробное выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю. В данном случае выражение $\frac{1}{\sin(-\alpha)}$ не имеет смысла при $\sin(-\alpha) = 0$.
Используя свойство нечетности функции синус, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем уравнение $-\sin(\alpha) = 0$, что равносильно $\sin(\alpha) = 0$.
Решением данного тригонометрического уравнения является серия значений $\alpha = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Ответ: при $\alpha = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Выражение $\frac{5}{\cos(-\alpha)}$ не имеет смысла, когда его знаменатель $\cos(-\alpha)$ равен нулю.
Используя свойство четности функции косинус, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем уравнение $\cos(\alpha) = 0$.
Решением данного тригонометрического уравнения является серия значений $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Ответ: при $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Функция тангенса $\operatorname{tg}(x)$ определяется как отношение $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ и не имеет смысла (не определена), когда ее знаменатель $\cos(x)$ равен нулю.
Для выражения $\operatorname{tg}(\alpha + \frac{\pi}{3})$ это означает, что $\cos(\alpha + \frac{\pi}{3}) = 0$.
Это уравнение выполняется, когда аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\alpha + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Чтобы найти $\alpha$, вычтем $\frac{\pi}{3}$ из обеих частей уравнения:
$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Ответ: при $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Функция котангенса $\operatorname{ctg}(x)$ определяется как отношение $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ и не имеет смысла (не определена), когда ее знаменатель $\sin(x)$ равен нулю.
Для выражения $\operatorname{ctg}(\alpha - \frac{\pi}{4})$ это означает, что $\sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = 0$.
Это уравнение выполняется, когда аргумент синуса равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\alpha - \frac{\pi}{4} = \pi n$
Чтобы найти $\alpha$, прибавим $\frac{\pi}{4}$ к обеим частям уравнения:
$\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Ответ: при $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.