Номер 517, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 517, страница 145.

Условие.

517. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой 1, равна $Q$. Найдите сумму кубов членов этой прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ со знаменателем $q$, где $|q| < 1$.

По условию задачи, первый член этой прогрессии $b_1 = 1$.

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Из условия известно, что сумма прогрессии равна $Q$. Подставив известные значения, получаем: $Q = \frac{1}{1-q}$.

Из этого уравнения выразим знаменатель прогрессии $q$ через $Q$: $Q(1-q) = 1$ $1-q = \frac{1}{Q}$ $q = 1 - \frac{1}{Q} = \frac{Q-1}{Q}$.

Теперь нам нужно найти сумму кубов членов этой прогрессии. Рассмотрим новую последовательность, состоящую из кубов членов исходной прогрессии: $b_1^3, b_2^3, \dots, b_n^3, \dots$ $b_1^3, (b_1q)^3, (b_1q^2)^3, \dots$

Эта новая последовательность также является геометрической прогрессией. Найдем ее первый член $b'_1$ и знаменатель $q'$. Первый член новой прогрессии: $b'_1 = b_1^3 = 1^3 = 1$. Знаменатель новой прогрессии: $q' = \frac{(b_1q)^3}{b_1^3} = \frac{b_1^3 q^3}{b_1^3} = q^3$.

Поскольку исходная прогрессия является бесконечно убывающей, то $|q| < 1$. Это означает, что для знаменателя новой прогрессии также выполняется условие $|q'| = |q^3| = |q|^3 < 1$. Следовательно, новая прогрессия тоже является бесконечно убывающей, и ее сумму $S'$ можно найти по той же формуле.

$S' = \frac{b'_1}{1-q'} = \frac{1}{1-q^3}$.

Теперь подставим в эту формулу выражение для $q$, которое мы нашли ранее: $q = \frac{Q-1}{Q}$. $S' = \frac{1}{1 - \left(\frac{Q-1}{Q}\right)^3} = \frac{1}{1 - \frac{(Q-1)^3}{Q^3}} = \frac{1}{\frac{Q^3 - (Q-1)^3}{Q^3}} = \frac{Q^3}{Q^3 - (Q-1)^3}$.

Упростим выражение в знаменателе. Можно раскрыть скобки $(Q-1)^3 = Q^3 - 3Q^2 + 3Q - 1$. $Q^3 - (Q-1)^3 = Q^3 - (Q^3 - 3Q^2 + 3Q - 1) = Q^3 - Q^3 + 3Q^2 - 3Q + 1 = 3Q^2 - 3Q + 1$.

Подставив упрощенный знаменатель обратно в формулу для $S'$, получаем окончательный результат: $S' = \frac{Q^3}{3Q^2 - 3Q + 1}$.

Ответ: $\frac{Q^3}{3Q^2 - 3Q + 1}$