Номер 511, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 511, страница 144.

Условие.

511. Обслуживаются 16 ткацких автоматических станков, производительность каждого из которых $m$ метров ткани в час. Первый станок включен в 8 часов, а каждый следующий – через 5 минут. Какова выработка (м) ткани этими станками в период с 8 до 10 часов?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи необходимо найти суммарное время работы всех 16 станков в период с 8 до 10 часов, а затем умножить это время на производительность одного станка $m$.

Продолжительность рабочего периода составляет 2 часа (с 8:00 до 10:00).

Первый станок работает все 2 часа. Каждый следующий станок включается на 5 минут позже предыдущего. Время работы станков образует убывающую арифметическую прогрессию.

Для нахождения суммы времен работы всех станков, воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
В данном случае, количество станков (членов прогрессии) $n=16$.
Первый член прогрессии (время работы первого станка) $a_1 = 2$ часа.
Найдем время работы последнего, 16-го станка. Он включается на $(16-1) \times 5 = 15 \times 5 = 75$ минут позже первого.
Переведем 75 минут в часы: $75 \text{ минут} = \frac{75}{60} \text{ часа} = \frac{5}{4}$ часа.
Время работы 16-го станка равно общей продолжительности минус его задержка: $a_{16} = 2 - \frac{5}{4} = \frac{8}{4} - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$ часа.

Теперь вычислим суммарное время работы всех станков, подставив значения в формулу суммы:
$S_{16} = \frac{2 + \frac{3}{4}}{2} \cdot 16 = \left(\frac{8}{4} + \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{16}{2} = \frac{11}{4} \cdot 8 = 11 \cdot 2 = 22$ часа.

Суммарное время работы всех 16 станков составляет 22 часа.

Чтобы найти общую выработку ткани (в метрах), умножим суммарное время работы на производительность одного станка $m$:
Общая выработка = $22 \times m = 22m$.

Ответ: $22m$.