Номер 509, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 509, страница 144.

Условие.

509. Исследуйте, при каких значениях x является арифметической прогрессией последовательность:

а) $x^2 - 4$; $x^2 + 3$; $2x^2 + 5$;

б) $x - \sqrt{2}$; $x\sqrt{2} + 2$; $3x - \sqrt{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)Последовательность является арифметической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов. Пусть даны три последовательных члена арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3$. Тогда выполняется равенство $2a_2 = a_1 + a_3$.
В данной последовательности:
$a_1 = x^2 - 4$
$a_2 = x^2 + 3$
$a_3 = 2x^2 + 5$
Подставим эти выражения в характеристическое свойство арифметической прогрессии:
$2(x^2 + 3) = (x^2 - 4) + (2x^2 + 5)$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$2x^2 + 6 = x^2 - 4 + 2x^2 + 5$
$2x^2 + 6 = 3x^2 + 1$
Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$6 - 1 = 3x^2 - 2x^2$
$5 = x^2$
Следовательно, $x = \pm\sqrt{5}$.
Ответ: при $x = \sqrt{5}$ и $x = -\sqrt{5}$.

б)Аналогично, для последовательности $x - \sqrt{2}; x\sqrt{2} + 2; 3x - \sqrt{2}$ используем то же свойство. Обозначим члены последовательности:
$a_1 = x - \sqrt{2}$
$a_2 = x\sqrt{2} + 2$
$a_3 = 3x - \sqrt{2}$
Запишем и решим уравнение, используя свойство $2a_2 = a_1 + a_3$:
$2(x\sqrt{2} + 2) = (x - \sqrt{2}) + (3x - \sqrt{2})$
$2x\sqrt{2} + 4 = 4x - 2\sqrt{2}$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$4 + 2\sqrt{2} = 4x - 2x\sqrt{2}$
Вынесем $x$ за скобку:
$4 + 2\sqrt{2} = x(4 - 2\sqrt{2})$
Выразим $x$:
$x = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}}$
Упростим полученное выражение, вынеся общий множитель 2 за скобки в числителе и знаменателе:
$x = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{2(2 - \sqrt{2})} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(2 + \sqrt{2})$:
$x = \frac{(2 + \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2}$
$x = 3 + 2\sqrt{2}$
Ответ: при $x = 3 + 2\sqrt{2}$.