Номер 506, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 506, страница 143.

Условие.

506. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$, в которой:

а) $9S = S_3$;

б) $S_5 = 31$, $S = 32$;

в) $7S = 16S_4$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$, для которой должно выполняться условие $|q| < 1$. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии. Сумма первых трех членов прогрессии $S_3$ вычисляется по формуле $S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q}$.По условию задачи дано уравнение $9S = S_3$.Подставим формулы для $S$ и $S_3$ в это уравнение:$9 \cdot \frac{b_1}{1-q} = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q}$.Поскольку прогрессия является нетривиальной (иначе все суммы равны нулю и знаменатель не определен), мы можем считать, что $b_1 \neq 0$. Также, так как $|q| < 1$, то знаменатель $1-q \neq 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $b_1$ и умножить обе части равенства на $(1-q)$:$9 = 1 - q^3$.Теперь выразим $q^3$:$q^3 = 1 - 9 = -8$.Найдем $q$, извлекая кубический корень:$q = \sqrt[3]{-8} = -2$.Теперь необходимо проверить, выполняется ли условие для бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $|q| < 1$.В нашем случае $|-2| = 2$. Так как $2 > 1$, условие не выполняется.Это означает, что не существует бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая удовлетворяла бы заданному условию.
Ответ: Такого знаменателя не существует.

б)По условию даны сумма первых пяти членов $S_5 = 31$ и сумма всей прогрессии $S = 32$.Используем соответствующие формулы:$S = \frac{b_1}{1-q} = 32$.$S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = 31$.Заметим, что формулу для $S_5$ можно переписать, используя $S$:$S_5 = \frac{b_1}{1-q} \cdot (1-q^5) = S \cdot (1-q^5)$.Подставим известные значения $S$ и $S_5$ в это соотношение:$31 = 32 \cdot (1-q^5)$.Выразим из этого уравнения $1-q^5$:$1 - q^5 = \frac{31}{32}$.Теперь выразим $q^5$:$q^5 = 1 - \frac{31}{32} = \frac{32}{32} - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$.Чтобы найти $q$, извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения:$q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$.Проверим выполнение условия $|q| < 1$:$|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$.Условие выполняется, следовательно, найденное значение является искомым знаменателем.
Ответ: $q = \frac{1}{2}$.

в)По условию дано соотношение $7S = 16S_4$.Используем формулы для суммы всей прогрессии $S$ и суммы первых четырех членов $S_4$:$S = \frac{b_1}{1-q}$.$S_4 = \frac{b_1(1-q^4)}{1-q}$.Подставим эти выражения в данное уравнение:$7 \cdot \frac{b_1}{1-q} = 16 \cdot \frac{b_1(1-q^4)}{1-q}$.При $b_1 \neq 0$ и $|q|<1$, мы можем сократить общие множители $b_1$ и $(1-q)$:$7 = 16(1-q^4)$.Раскроем скобки и решим уравнение относительно $q^4$:$7 = 16 - 16q^4$.$16q^4 = 16 - 7$.$16q^4 = 9$.$q^4 = \frac{9}{16}$.Чтобы найти $q$, извлечем корень четвертой степени. Уравнение $x^4=a$ (где $a>0$) имеет два действительных корня $x = \pm \sqrt[4]{a}$.$q = \pm \sqrt[4]{\frac{9}{16}} = \pm \sqrt{\sqrt{\frac{9}{16}}} = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, мы получили два возможных значения для знаменателя: $q_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $q_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.Проверим для каждого из них условие $|q| < 1$:$|q_1| = |\frac{\sqrt{3}}{2}| \approx \frac{1.732}{2} = 0.866 < 1$.$|q_2| = |-\frac{\sqrt{3}}{2}| \approx 0.866 < 1$.Оба значения удовлетворяют условию для бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Ответ: $q = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.