Номер 499, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 499, страница 142.

Условие.

499. Найдите сумму всех:
а) двузначных чисел, которые при делении на 4 дают остаток 3;
б) трехзначных чисел, делящихся на 5.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 4 дают остаток 3, мы имеем дело с арифметической прогрессией. Общий вид таких чисел — $4k+3$, где $k$ — целое число.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Наименьшее двузначное число — 10. Проверим числа, начиная с 10: $10 = 4 \cdot 2 + 2$; $11 = 4 \cdot 2 + 3$. Значит, первый член прогрессии $a_1 = 11$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Наибольшее двузначное число — 99. Проверим его: $99 = 4 \cdot 24 + 3$. Значит, последний член прогрессии $a_n = 99$.

3. Разность прогрессии $d=4$, так как каждое следующее такое число больше предыдущего на 4 (например, 11, 15, 19, ...).

4. Найдем количество членов прогрессии ($n$) по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$99 = 11 + (n-1) \cdot 4$

$88 = (n-1) \cdot 4$

$n-1 = 22$

$n = 23$

5. Теперь найдем сумму прогрессии ($S_n$) по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{23} = \frac{11 + 99}{2} \cdot 23 = \frac{110}{2} \cdot 23 = 55 \cdot 23 = 1265$

Ответ: 1265.

б) Чтобы найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 5, мы также используем свойства арифметической прогрессии.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Наименьшее трехзначное число — 100. Оно делится на 5, следовательно, $a_1 = 100$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Наибольшее трехзначное число — 999. Наибольшее трехзначное число, которое делится на 5, — это 995. Следовательно, $a_n = 995$.

3. Разность прогрессии $d=5$, так как это последовательность чисел, кратных 5.

4. Найдем количество членов прогрессии ($n$) по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$995 = 100 + (n-1) \cdot 5$

$895 = (n-1) \cdot 5$

$n-1 = \frac{895}{5} = 179$

$n = 180$

5. Найдем сумму прогрессии ($S_n$) по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{180} = \frac{100 + 995}{2} \cdot 180 = \frac{1095}{2} \cdot 180 = 1095 \cdot 90 = 98550$

Ответ: 98550.