Номер 502, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 502, страница 143.

Условие.

502. a)

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то снова получится геометрическая прогрессия. Найдите второе число.

б)

Население г. Астаны (с 2019 г. – Нур-Султан) в 1998 году составляло около 300 000 человек, а в 2017 году его численность достигла 1 миллиона 32 тысячи 450 человек. Представив эти значения как первый и двадцатый члены арифметической прогрессии, найдите ее разность. Верно ли, что эта разность – ежегодный прирост населения столицы за указанные двадцать лет?

г. Нур-Султан

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Обозначим три члена геометрической прогрессии как $b_1, b_2, b_3$. Согласно свойству геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Когда второй член увеличили на 8, получилась новая последовательность $b_1, b_2+8, b_3$, которая также является геометрической прогрессией. Для нее справедливо аналогичное свойство: $(b_2+8)^2 = b_1 \cdot b_3$.

Поскольку правые части обоих равенств равны ($b_1 \cdot b_3$), мы можем приравнять их левые части: $b_2^2 = (b_2+8)^2$.

Решим полученное уравнение относительно $b_2$. Раскроем скобки: $b_2^2 = b_2^2 + 16b_2 + 64$.

После упрощения получаем: $0 = 16b_2 + 64$.

Перенесем 64 в левую часть: $16b_2 = -64$.

Отсюда находим $b_2$: $b_2 = \frac{-64}{16} = -4$.

Таким образом, второй член исходной геометрической прогрессии равен -4.

Ответ: -4.

б) Представим рост населения города как арифметическую прогрессию. Население в 1998 году — это первый член прогрессии $a_1$, а население в 2017 году — двадцатый член $a_{20}$, поскольку период с 1998 по 2017 год включительно составляет $2017 - 1998 + 1 = 20$ лет.

Таким образом, у нас есть:

$a_1 = 300000$

$a_{20} = 1032450$

Для нахождения разности прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

При $n=20$ формула имеет вид: $a_{20} = a_1 + (20-1)d = a_1 + 19d$.

Подставим известные значения в формулу:

$1032450 = 300000 + 19d$

Выразим $19d$:

$19d = 1032450 - 300000$

$19d = 732450$

Теперь найдем разность $d$:

$d = \frac{732450}{19} = 38550$

Разность арифметической прогрессии равна 38 550.

Теперь ответим на вопрос: "Верно ли, что эта разность – ежегодный прирост населения столицы за указанные двадцать лет?".

Модель арифметической прогрессии предполагает, что прирост населения был постоянной величиной каждый год. В реальной жизни годовой прирост населения колеблется в зависимости от множества социально-экономических факторов (рождаемость, смертность, миграция и т.д.). Таким образом, найденное значение $d = 38550$ является средним годовым приростом населения за этот период в рамках данной математической модели. Утверждать, что это точный прирост населения за каждый конкретный год, неверно.

Ответ: Разность прогрессии равна 38550. Нет, неверно. Это значение является средним годовым приростом населения при допущении, что рост был линейным (модель арифметической прогрессии), а не фактическим приростом за каждый год.