Номер 503, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 503, страница 143.

Условие.

503. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите:

a) $b_2b_4$, если $b_1 = 7, b_5 = 56;

б) $b_6b_7b_8b_9b_{10}$, если $b_8 = 4.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти произведение $b_2b_4$, воспользуемся свойством геометрической прогрессии: для любых натуральных чисел $k, l, m, n$, если $k+l=m+n$, то $b_k \cdot b_l = b_m \cdot b_n$.

В нашем случае нужно найти произведение $b_2 \cdot b_4$. Сумма индексов $2+4=6$.

Нам даны члены $b_1$ и $b_5$. Сумма их индексов $1+5=6$.

Поскольку суммы индексов равны, мы можем утверждать, что $b_2 \cdot b_4 = b_1 \cdot b_5$.

Подставим известные значения $b_1 = 7$ и $b_5 = 56$:

$b_2 \cdot b_4 = 7 \cdot 56 = 392$.

Ответ: 392

б) Нам нужно найти произведение $b_6b_7b_8b_9b_{10}$.

Заметим, что член $b_8$ является центральным в этой последовательности. Воспользуемся свойством геометрической прогрессии, что произведение членов, равноудаленных от некоторого члена, равно квадрату этого члена. То есть, $b_{n-k} \cdot b_{n+k} = b_n^2$.

Сгруппируем множители в искомом произведении:

$b_6 \cdot b_7 \cdot b_8 \cdot b_9 \cdot b_{10} = (b_6 \cdot b_{10}) \cdot (b_7 \cdot b_9) \cdot b_8$.

Применим свойство для $n=8$:

$b_7 \cdot b_9 = b_{8-1} \cdot b_{8+1} = b_8^2$.

$b_6 \cdot b_{10} = b_{8-2} \cdot b_{8+2} = b_8^2$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в произведение:

$(b_8^2) \cdot (b_8^2) \cdot b_8 = b_8^{2+2+1} = b_8^5$.

По условию задачи $b_8 = 4$. Вычислим результат:

$4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} = 1024$.

Ответ: 1024