Номер 497, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 497, страница 142.

Условие.

497. Уникальный Устюртский государственный заповедник Казахстана имеет площадь, равную 223 342 га. Какое наибольшее количество $n$ первых нечетных натуральных чисел надо сложить, чтобы их сумма не превышала числа, выражающего в гектарах площадь этого заповедника?

Плато Устюрт

Решение.

Решение 2 (rus).

497. По условию задачи, площадь Устюртского государственного заповедника составляет $223 \ 342$ га. Нам нужно найти наибольшее количество $n$ первых нечетных натуральных чисел, сумма которых не будет превышать это число.

Первые нечетные натуральные числа образуют арифметическую прогрессию: $1, 3, 5, 7, \dots$. Общий член этой прогрессии можно записать как $a_n = 2n - 1$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии находится по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Для нашей последовательности первый член $a_1 = 1$, а $n$-й член $a_n = 2n - 1$.

Таким образом, сумма первых $n$ нечетных натуральных чисел равна: $S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$. Это известный факт: сумма первых $n$ нечетных чисел равна $n^2$.

Теперь нам нужно найти наибольшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство: $n^2 \le 223 \ 342$.

Для этого найдем, какому целому числу $n$ соответствует это условие, извлекая квадратный корень: $n \le \sqrt{223 \ 342}$.

Оценим значение корня. Подберем целые числа, квадраты которых близки к $223 \ 342$: $472^2 = 222 \ 784$ $473^2 = 223 \ 729$

Так как $472^2 = 222 \ 784 \le 223 \ 342$, а $473^2 = 223 \ 729 > 223 \ 342$, то наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее условию, равно 472.

Ответ: 472.