Номер 490, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 490, страница 141.

Условие.

490. Углы некоторого треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что один из них равен $60^\circ$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть три угла треугольника, которые образуют арифметическую прогрессию, равны $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$.

Основное свойство любого треугольника заключается в том, что сумма его внутренних углов всегда равна 180°.
$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180°$

Поскольку углы образуют арифметическую прогрессию, их можно представить через первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$. Однако для удобства вычислений представим три члена прогрессии симметрично относительно среднего члена. Пусть средний угол равен $\alpha$, а разность прогрессии равна $d$. Тогда три угла треугольника можно записать так:
Первый угол: $\alpha - d$
Второй угол: $\alpha$
Третий угол: $\alpha + d$

Теперь подставим эти выражения в формулу суммы углов треугольника:
$(\alpha - d) + \alpha + (\alpha + d) = 180°$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Заметим, что разность прогрессии $d$ взаимно уничтожается:
$\alpha - d + \alpha + \alpha + d = 180°$
$3\alpha = 180°$

Теперь найдем значение $\alpha$:
$\alpha = \frac{180°}{3}$
$\alpha = 60°$

Таким образом, мы доказали, что средний по величине угол в треугольнике, углы которого составляют арифметическую прогрессию, всегда равен 60°. Следовательно, один из углов этого треугольника равен 60°.

Ответ: Один из углов треугольника, образующих арифметическую прогрессию, всегда равен 60°, что и требовалось доказать.