Номер 486, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 486, страница 141.

Условие.

486. Выпишите пять первых членов последовательности, заданной формулой $c_n = \frac{10^n - 1}{9}$, и найдите их сумму. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией?

Решение.

Решение 2 (rus).

Выпишите пять первых членов последовательности

Последовательность задана формулой общего члена $c_n = \frac{10^n - 1}{9}$. Чтобы найти первые пять членов последовательности, необходимо вычислить значения $c_n$ для $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

При $n=1$:
$c_1 = \frac{10^1 - 1}{9} = \frac{10 - 1}{9} = \frac{9}{9} = 1$

При $n=2$:
$c_2 = \frac{10^2 - 1}{9} = \frac{100 - 1}{9} = \frac{99}{9} = 11$

При $n=3$:
$c_3 = \frac{10^3 - 1}{9} = \frac{1000 - 1}{9} = \frac{999}{9} = 111$

При $n=4$:
$c_4 = \frac{10^4 - 1}{9} = \frac{10000 - 1}{9} = \frac{9999}{9} = 1111$

При $n=5$:
$c_5 = \frac{10^5 - 1}{9} = \frac{100000 - 1}{9} = \frac{99999}{9} = 11111$

Ответ: Первые пять членов последовательности: 1, 11, 111, 1111, 11111.

Найдите их сумму

Для нахождения суммы первых пяти членов $S_5$ сложим полученные значения:

$S_5 = c_1 + c_2 + c_3 + c_4 + c_5 = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 = 12345$

Ответ: Сумма первых пяти членов последовательности равна 12345.

Является ли эта последовательность геометрической прогрессией?

Для того чтобы последовательность была геометрической прогрессией, отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену должно быть постоянным числом (знаменателем прогрессии $q$). Проверим это условие для нашей последовательности.

Найдем отношение второго члена к первому:
$\frac{c_2}{c_1} = \frac{11}{1} = 11$

Найдем отношение третьего члена ко второму:
$\frac{c_3}{c_2} = \frac{111}{11} \approx 10.09$

Так как $11 \neq \frac{111}{11}$, отношение между соседними членами не является постоянным. Следовательно, данная последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: Нет, эта последовательность не является геометрической прогрессией.