Номер 484, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 484, страница 140.

Условие.

484. Какое наименьшее количество $n$ первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии $8; 5; \dots$ надо отбросить, чтобы сумма остальных ее членов была меньше $10$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $ (b_n) $ с первым членом $b_1 = 8$ и вторым членом $b_2 = 5$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5}{8}$

Поскольку $|q| = |\frac{5}{8}| < 1$, прогрессия действительно является бесконечно убывающей.

Если отбросить первые $n$ членов прогрессии, то оставшиеся члены ($b_{n+1}, b_{n+2}, b_{n+3}, \ldots$) также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Первым членом этой новой прогрессии будет $b_{n+1}$, а знаменатель останется прежним, $q = \frac{5}{8}$.

Найдем $(n+1)$-й член исходной прогрессии по формуле $n$-го члена $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$:

$b_{n+1} = b_1 \cdot q^{(n+1)-1} = b_1 \cdot q^n = 8 \cdot \left(\frac{5}{8}\right)^n$

Сумма $S_{ост}$ оставшихся членов вычисляется по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_{первый}}{1-q}$:

$S_{ост} = \frac{b_{n+1}}{1-q} = \frac{8 \cdot (\frac{5}{8})^n}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{8 \cdot (\frac{5}{8})^n}{\frac{3}{8}} = \frac{64}{3} \cdot \left(\frac{5}{8}\right)^n$

По условию задачи, сумма остальных членов должна быть меньше 10, то есть $S_{ост} < 10$. Составим и решим неравенство:

$\frac{64}{3} \cdot \left(\frac{5}{8}\right)^n < 10$

Выразим степень с основанием $n$:

$\left(\frac{5}{8}\right)^n < 10 \cdot \frac{3}{64}$

$\left(\frac{5}{8}\right)^n < \frac{30}{64}$

$\left(\frac{5}{8}\right)^n < \frac{15}{32}$

Поскольку $n$ — это количество членов, то $n$ является натуральным числом. Найдем наименьшее $n$, удовлетворяющее этому неравенству, методом подбора.

При $n=1$:

$\frac{5}{8} = \frac{20}{32}$. Неравенство $\frac{20}{32} < \frac{15}{32}$ неверно.

При $n=2$:

$\left(\frac{5}{8}\right)^2 = \frac{25}{64}$. Сравним с $\frac{15}{32} = \frac{30}{64}$. Неравенство $\frac{25}{64} < \frac{30}{64}$ верно.

Таким образом, наименьшее количество членов, которое нужно отбросить, равно 2.

Ответ: 2