Номер 478, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 478, страница 140.

Условие.

478. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

а) $\sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}, 3\sqrt{2} - 4, ...$

б) $\sqrt{3}, 2\sqrt{3} - 3, 7\sqrt{3} - 12, ...$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. Условием сходимости является $|q| < 1$.
В данной прогрессии первый член $b_1 = \sqrt{2}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
Для упрощения вынесем $\sqrt{2}$ за скобки в числителе: $2 - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$.
Тогда $q = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$.
Проверим условие сходимости. Так как $1 < \sqrt{2} < 2$, то $0 < \sqrt{2} - 1 < 1$. Следовательно, $|q| < 1$, и прогрессия является бесконечно убывающей.
Теперь найдем сумму прогрессии:$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{2}}{1 - (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{2})$:$S = \frac{\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2} = \sqrt{2} + 1$.
Ответ: $\sqrt{2} + 1$.

б) Аналогично пункту а), найдем первый член и знаменатель прогрессии. Первый член $b_1 = \sqrt{3}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3}}$.
Вынесем $\sqrt{3}$ за скобки в числителе: $2\sqrt{3} - 3 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$.
Тогда $q = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$.
Проверим условие сходимости. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $0 < 2 - \sqrt{3} < 1$. Следовательно, $|q| < 1$.
Теперь найдем сумму прогрессии:$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{3}}{1 - (2 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{1 - 2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$:$S = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$.