Номер 477, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 477, страница 139.

Условие.

477. Исследуйте, существует ли бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой в 10 раз больше суммы всех остальных ее членов. Если существует, то приведите пример такой последовательности.

Решение.

Решение 2 (rus).

Исследование существования прогрессии

Пусть дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Основным условием для такой прогрессии является $|q| < 1$.

Сумма всех членов прогрессии, кроме первого, представляет собой сумму $S_{ост} = b_2 + b_3 + b_4 + \dots$. Эта последовательность также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член равен $b_2 = b_1q$, а знаменатель равен $q$.

Сумма $S_{ост}$ вычисляется по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S_{ост} = \frac{b_2}{1-q} = \frac{b_1q}{1-q}$

По условию задачи, первый член $b_1$ в 10 раз больше суммы всех остальных ее членов, то есть:

$b_1 = 10 \cdot S_{ост}$

Подставим в это равенство выражение для $S_{ост}$:

$b_1 = 10 \cdot \frac{b_1q}{1-q}$

Для нетривиальной прогрессии $b_1 \ne 0$, поэтому можно разделить обе части уравнения на $b_1$:

$1 = \frac{10q}{1-q}$

Решим это уравнение относительно $q$:

$1 - q = 10q$

$1 = 11q$

$q = \frac{1}{11}$

Полученное значение знаменателя $q = \frac{1}{11}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$, так как $|\frac{1}{11}| < 1$.

Это означает, что такая прогрессия существует.

Ответ: Да, такая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия существует.

Пример такой последовательности

Мы выяснили, что знаменатель такой прогрессии должен быть равен $q = \frac{1}{11}$. Первый член $b_1$ может быть любым числом, не равным нулю. Выберем для простоты $b_1 = 1$.

Тогда последовательность будет иметь вид:

$1, \frac{1}{11}, \frac{1}{121}, \frac{1}{1331}, \dots$

Проверим выполнение условия для этой последовательности.

Первый член $b_1 = 1$.

Сумма всех остальных членов:

$S_{ост} = \frac{1}{11} + \frac{1}{121} + \frac{1}{1331} + \dots$

Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_2 = \frac{1}{11}$ и знаменателем $q = \frac{1}{11}$.

$S_{ост} = \frac{\frac{1}{11}}{1 - \frac{1}{11}} = \frac{\frac{1}{11}}{\frac{10}{11}} = \frac{1}{10}$

Проверяем, действительно ли первый член в 10 раз больше этой суммы:

$10 \cdot S_{ост} = 10 \cdot \frac{1}{10} = 1$.

Так как $b_1 = 1$, условие $b_1 = 10 \cdot S_{ост}$ выполняется.

Ответ: Примером такой последовательности является прогрессия с $b_1 = 1$ и $q = \frac{1}{11}$: $1, \frac{1}{11}, \frac{1}{121}, \dots$.