Номер 470, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 470, страница 139.

Условие.

470. Найдите первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(c_n)$, для которой:

а) $S = 0,2$ и $q = \frac{4}{9}$;

б) $S = 0,5$ и $c_1 + c_2 = 0,48$;

в) $S = 6,4$ и $c_1 + c_2 + c_3 = 6,3$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

По условию задачи даны сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = 0,2$ и ее знаменатель $q = \frac{4}{9}$.

Формула для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет вид: $S = \frac{c_1}{1-q}$, где $c_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Чтобы найти первый член прогрессии $c_1$, подставим известные значения в формулу:

$0,2 = \frac{c_1}{1 - \frac{4}{9}}$

Сначала вычислим знаменатель дроби в правой части:

$1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Теперь уравнение выглядит так:

$0,2 = \frac{c_1}{\frac{5}{9}}$

Выразим $c_1$:

$c_1 = 0,2 \cdot \frac{5}{9}$

Представим десятичную дробь 0,2 в виде обыкновенной дроби $\frac{2}{10}$ или $\frac{1}{5}$ и выполним умножение:

$c_1 = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 9} = \frac{1}{9}$

Ответ: $c_1 = \frac{1}{9}$.

б)

По условию задачи даны сумма прогрессии $S = 0,5$ и сумма первых двух её членов $c_1 + c_2 = 0,48$.

Мы можем составить систему уравнений. Первое уравнение — это формула суммы прогрессии:

$S = \frac{c_1}{1-q} = 0,5$

Второе уравнение основано на сумме первых двух членов. Так как $c_2 = c_1 \cdot q$, то:

$c_1 + c_1 \cdot q = 0,48$

$c_1(1+q) = 0,48$

Теперь у нас есть система из двух уравнений: первое — $\frac{c_1}{1-q} = 0,5$, и второе — $c_1(1+q) = 0,48$.

Из первого уравнения выразим $c_1$:

$c_1 = 0,5(1-q)$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$0,5(1-q)(1+q) = 0,48$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$0,5(1 - q^2) = 0,48$

Разделим обе части на 0,5:

$1 - q^2 = \frac{0,48}{0,5} = 0,96$

Отсюда найдем $q^2$:

$q^2 = 1 - 0,96 = 0,04$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $q$:

$q_1 = \sqrt{0,04} = 0,2$

$q_2 = -\sqrt{0,04} = -0,2$

Оба значения удовлетворяют условию для бесконечно убывающей прогрессии, так как $|q| < 1$. Найдем $c_1$ для каждого случая.

1. Если $q = 0,2$:

$c_1 = 0,5(1 - 0,2) = 0,5 \cdot 0,8 = 0,4$

2. Если $q = -0,2$:

$c_1 = 0,5(1 - (-0,2)) = 0,5 \cdot (1 + 0,2) = 0,5 \cdot 1,2 = 0,6$

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $c_1 = 0,4$ или $c_1 = 0,6$.

в)

По условию задачи даны сумма прогрессии $S = 6,4$ и сумма первых трех её членов $c_1 + c_2 + c_3 = 6,3$.

Как и в предыдущем пункте, составим систему уравнений. Первое уравнение — формула суммы:

$S = \frac{c_1}{1-q} = 6,4$

Второе уравнение — сумма первых трех членов, где $c_2 = c_1 \cdot q$ и $c_3 = c_1 \cdot q^2$:

$c_1 + c_1 \cdot q + c_1 \cdot q^2 = 6,3$

$c_1(1+q+q^2) = 6,3$

Получаем систему уравнений: первое — $\frac{c_1}{1-q} = 6,4$, и второе — $c_1(1+q+q^2) = 6,3$.

Из первого уравнения выразим $c_1$:

$c_1 = 6,4(1-q)$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$6,4(1-q)(1+q+q^2) = 6,3$

Воспользуемся формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$:

$6,4(1^3 - q^3) = 6,3$

$6,4(1 - q^3) = 6,3$

Разделим обе части на 6,4:

$1 - q^3 = \frac{6,3}{6,4} = \frac{63}{64}$

Выразим $q^3$:

$q^3 = 1 - \frac{63}{64} = \frac{64}{64} - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}$

Найдем $q$, извлекая кубический корень:

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$

Это значение удовлетворяет условию $|q|<1$. Теперь найдем $c_1$:

$c_1 = 6,4(1-q) = 6,4\left(1 - \frac{1}{4}\right) = 6,4 \cdot \frac{3}{4}$

Выполним вычисления:

$c_1 = \frac{64}{10} \cdot \frac{3}{4} = \frac{16 \cdot 3}{10} = \frac{48}{10} = 4,8$

Ответ: $c_1 = 4,8$.