Номер 465, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. III. Последовательности - номер 465, страница 138.

Условие.

465. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

а) $8 - 4 + 2 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \dots$

б) $7 - \frac{21}{4} + \frac{63}{16} - \frac{189}{64} + \dots$

в) $3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots$

г) $-2 + \sqrt{2} - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} + \dots$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $b_1 = 8$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$. Модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$, что меньше 1, следовательно, мы можем применить формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставляем наши значения: $S = \frac{8}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{8}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{3}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.Ответ: $\frac{16}{3}$

б) В этой геометрической прогрессии первый член $b_1 = 7$. Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{-\frac{21}{4}}{7} = -\frac{21}{4 \cdot 7} = -\frac{3}{4}$. Так как $|q| = |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $S = \frac{7}{1 - (-\frac{3}{4})} = \frac{7}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{7}{\frac{7}{4}} = 7 \cdot \frac{4}{7} = 4$.Ответ: 4

в) Первый член данной геометрической прогрессии $b_1 = 3$. Знаменатель прогрессии равен $q = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Модуль знаменателя $|q| = |\frac{1}{\sqrt{3}}| < 1$, значит, можно найти сумму прогрессии. Используем формулу $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $S = \frac{3}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$: $S = \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$.Ответ: $\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

г) В этой прогрессии первый член $b_1 = -2$. Найдем знаменатель: $q = \frac{\sqrt{2}}{-2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Модуль знаменателя $|q| = |-\frac{\sqrt{2}}{2}| = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$, следовательно, это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $S = \frac{-2}{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{-2}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{-2}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}} = \frac{-4}{2 + \sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное $(2 - \sqrt{2})$: $S = \frac{-4(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{-4(2 - \sqrt{2})}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{-4(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{-4(2 - \sqrt{2})}{2} = -2(2 - \sqrt{2}) = -4 + 2\sqrt{2}$.Ответ: $2\sqrt{2} - 4$