Номер 463, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 463, страница 133.

Условие.

463. Найдите значение выражения $\sqrt{1\,111\,111\,111 - 22\,222}$, используя формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения данной задачи необходимо представить числа под корнем, используя формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Первое число под корнем, $1~111~111~111$, состоит из 10 единиц. Его можно представить как сумму:

$1~111~111~111 = 1 + 10 + 10^2 + \dots + 10^9$.

Это сумма первых 10 членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 10$. Применяя формулу, получаем:

$1~111~111~111 = \frac{1 \cdot (10^{10} - 1)}{10 - 1} = \frac{10^{10} - 1}{9}$.

Второе число, $22~222$, состоит из 5 двоек. Его можно представить как:

$22~222 = 2 \cdot 11111 = 2 \cdot (1 + 10 + 10^2 + 10^3 + 10^4)$.

Выражение в скобках является суммой первых 5 членов геометрической прогрессии с $b_1 = 1$ и $q = 10$. По формуле суммы:

$22~222 = 2 \cdot \frac{1 \cdot (10^5 - 1)}{10 - 1} = \frac{2(10^5 - 1)}{9}$.

Теперь подставим эти представления в исходное выражение:

$\sqrt{1~111~111~111 - 22~222} = \sqrt{\frac{10^{10} - 1}{9} - \frac{2(10^5 - 1)}{9}}$.

Упростим выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{(10^{10} - 1) - 2(10^5 - 1)}{9}} = \sqrt{\frac{10^{10} - 1 - 2 \cdot 10^5 + 2}{9}} = \sqrt{\frac{10^{10} - 2 \cdot 10^5 + 1}{9}}$.

Заметим, что числитель $10^{10} - 2 \cdot 10^5 + 1$ является полным квадратом, так как $10^{10} = (10^5)^2$. Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 10^5$ и $b = 1$, получаем:

$10^{10} - 2 \cdot 10^5 + 1 = (10^5 - 1)^2$.

Подставим это обратно в выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{(10^5 - 1)^2}{9}} = \sqrt{\left(\frac{10^5 - 1}{3}\right)^2}$.

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\frac{10^5 - 1}{3} = \frac{100000 - 1}{3} = \frac{99999}{3} = 33333$.

Ответ: 33333.