Номер 461, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 461, страница 133.

Условие.

461. Докажите, что для геометрической прогрессии ($b_n$) верна формула $S_n - S_k = \frac{b_{k+1}(q^{n-k}-1)}{q-1}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства данной формулы необходимо воспользоваться стандартной формулой суммы первых $m$ членов геометрической прогрессии, которая имеет вид $S_m = \frac{b_1(q^m - 1)}{q-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($q \neq 1$). Также нам понадобится формула $n$-го члена прогрессии: $b_n = b_1 q^{n-1}$. Будем считать, что в условии $n > k$.

Запишем левую часть доказываемого равенства, $S_n - S_k$, используя формулу суммы:

$S_n - S_k = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1} - \frac{b_1(q^k - 1)}{q-1}$

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание в числителе:

$S_n - S_k = \frac{b_1(q^n - 1) - b_1(q^k - 1)}{q-1}$

Вынесем общий множитель $b_1$ за скобки в числителе:

$S_n - S_k = \frac{b_1((q^n - 1) - (q^k - 1))}{q-1}$

Раскроем внутренние скобки в числителе и упростим выражение:

$S_n - S_k = \frac{b_1(q^n - 1 - q^k + 1)}{q-1} = \frac{b_1(q^n - q^k)}{q-1}$

Теперь в числителе вынесем за скобки общий множитель $q^k$:

$S_n - S_k = \frac{b_1 q^k(q^{n-k} - 1)}{q-1}$

По формуле $n$-го члена геометрической прогрессии, $(k+1)$-й член равен $b_{k+1} = b_1 q^{(k+1)-1} = b_1 q^k$.

Заменим произведение $b_1 q^k$ в числителе на $b_{k+1}$:

$S_n - S_k = \frac{b_{k+1}(q^{n-k} - 1)}{q-1}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой, что и доказывает справедливость формулы.

Ответ: Утверждение доказано. Формула $S_n - S_k = \frac{b_{k+1}(q^{n-k}-1)}{q-1}$ верна для геометрической прогрессии $(b_n)$ при $q \neq 1$ и $n > k$.