Номер 457, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 457, страница 133.

Условие.

457. Выведите формулу суммы квадратов $n$ первых членов геометрической прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Общий член такой прогрессии находится по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Требуется найти формулу для суммы квадратов первых $n$ членов этой прогрессии. Обозначим эту сумму $S_{n,2}$:$S_{n,2} = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + \dots + b_n^2$.

Подставим в это выражение формулу общего члена для каждого слагаемого:$S_{n,2} = (b_1)^2 + (b_1 q)^2 + (b_1 q^2)^2 + \dots + (b_1 q^{n-1})^2$.

Раскроем скобки, используя свойство степени $(ab)^k = a^k b^k$:$S_{n,2} = b_1^2 + b_1^2 q^2 + b_1^2 q^4 + \dots + b_1^2 q^{2(n-1)}$.

Мы получили новую последовательность, слагаемые которой также образуют геометрическую прогрессию. Обозначим ее члены как $c_k = b_k^2$. Эта новая прогрессия имеет:

• первый член $c_1 = b_1^2$;
• знаменатель $r = \frac{c_2}{c_1} = \frac{b_1^2 q^2}{b_1^2} = q^2$;
• число членов, равное $n$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{c_1(r^n - 1)}{r - 1}$ при условии, что знаменатель $r \neq 1$.

Подставим в эту формулу параметры нашей новой прогрессии ($c_1=b_1^2$ и $r=q^2$):$S_{n,2} = \frac{b_1^2((q^2)^n - 1)}{q^2 - 1} = b_1^2 \frac{q^{2n} - 1}{q^2 - 1}$.Эта формула верна при $q^2 \neq 1$, то есть при $q \neq 1$ и $q \neq -1$.

Теперь рассмотрим случай, когда $q^2 = 1$.

1. Если $q = 1$, исходная прогрессия состоит из одинаковых членов: $b_1, b_1, b_1, \dots$. Сумма квадратов первых $n$ членов будет равна:$S_{n,2} = b_1^2 + b_1^2 + \dots + b_1^2 = n \cdot b_1^2$.

2. Если $q = -1$, исходная прогрессия имеет вид: $b_1, -b_1, b_1, -b_1, \dots$. Квадраты ее членов будут равны: $b_1^2, (-b_1)^2, b_1^2, (-b_1)^2, \dots$, то есть все квадраты равны $b_1^2$. Сумма квадратов в этом случае также будет:$S_{n,2} = b_1^2 + b_1^2 + \dots + b_1^2 = n \cdot b_1^2$.

Таким образом, для $q^2=1$ (т.е. $q = \pm 1$) формула одна и та же.

Ответ: Формула суммы квадратов $n$ первых членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ имеет вид:
- при $q^2 \neq 1$: $S_{n,2} = b_1^2 \frac{q^{2n} - 1}{q^2 - 1}$
- при $q^2 = 1$ (то есть $q=1$ или $q=-1$): $S_{n,2} = n \cdot b_1^2$