Номер 453, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 453, страница 132.

Условие.

453. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии, если $S_3 = 80, S_6 = 90$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $(b_n)$ — данная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$).

По условию задачи дано: $S_3 = 80$ и $S_6 = 90$.

Сумму первых шести членов $S_6$ можно представить как сумму первых трех членов $S_3$ и сумму следующих трех членов (с четвертого по шестой):$S_6 = (b_1 + b_2 + b_3) + (b_4 + b_5 + b_6) = S_3 + (b_4 + b_5 + b_6)$.

Выразим сумму членов с четвертого по шестой через $S_3$. Для этого вынесем $q^3$ за скобки:$b_4 + b_5 + b_6 = b_1q^3 + b_2q^3 + b_3q^3 = q^3(b_1 + b_2 + b_3) = q^3 \cdot S_3$.

Таким образом, получаем соотношение:$S_6 = S_3 + q^3 \cdot S_3 = S_3(1 + q^3)$.

Подставим известные значения $S_3 = 80$ и $S_6 = 90$ в это соотношение, чтобы найти $q^3$:$90 = 80(1 + q^3)$$1 + q^3 = \frac{90}{80} = \frac{9}{8}$$q^3 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}$.

Теперь нам нужно найти сумму первых девяти членов $S_9$. Аналогично, представим $S_9$ как сумму $S_6$ и сумму следующих трех членов (с седьмого по девятый):$S_9 = S_6 + (b_7 + b_8 + b_9)$.

Можно заметить, что суммы последовательных групп из трех членов $(b_1+b_2+b_3)$, $(b_4+b_5+b_6)$, $(b_7+b_8+b_9)$ сами образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q^3$.Сумма первой группы: $b_1+b_2+b_3 = S_3 = 80$.Сумма второй группы: $b_4+b_5+b_6 = S_6 - S_3 = 90 - 80 = 10$.Знаменатель этой новой прогрессии равен $\frac{10}{80} = \frac{1}{8}$, что совпадает с найденным значением $q^3$.Тогда сумма третьей группы $(b_7+b_8+b_9)$ равна сумме второй группы, умноженной на знаменатель $q^3$:$b_7 + b_8 + b_9 = (b_4+b_5+b_6) \cdot q^3 = 10 \cdot \frac{1}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

Теперь, когда мы нашли сумму членов с седьмого по девятый, можем вычислить $S_9$:$S_9 = S_6 + (b_7 + b_8 + b_9) = 90 + \frac{5}{4} = 90 + 1.25 = 91.25$.

Ответ: $91.25$