Номер 447, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 447, страница 131.

Условие.

447. Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго – вершинами третьего. Найдите сумму площадей четырех первых квадратов, построенных таким образом.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи необходимо последовательно найти площади каждого из четырех квадратов и затем просуммировать их.

1. Вычисление площади первого квадрата ($S_1$)

Сторона первого квадрата задана в условии и равна $a_1 = 4$ см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

Следовательно, площадь первого квадрата равна:

$S_1 = 4^2 = 16$ см$^2$.

2. Вычисление площади второго квадрата ($S_2$)

Вершины второго квадрата являются серединами сторон первого. Если соединить середины соседних сторон первого квадрата с его вершиной, образуется прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника равны половине стороны первого квадрата, то есть $4 / 2 = 2$ см. Сторона второго квадрата ($a_2$) будет гипотенузой этого треугольника.

По теореме Пифагора, квадрат стороны второго квадрата ($a_2^2$) равен сумме квадратов катетов. Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то:

$S_2 = a_2^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$ см$^2$.

3. Вычисление площадей третьего ($S_3$) и четвертого ($S_4$) квадратов

Мы видим, что площадь второго квадрата в два раза меньше площади первого ($S_2 = S_1 / 2$). Эта закономерность сохраняется для всех последующих квадратов, построенных таким образом. То есть, площади квадратов образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1/2$.

Площадь третьего квадрата будет в два раза меньше площади второго:

$S_3 = S_2 / 2 = 8 / 2 = 4$ см$^2$.

Площадь четвертого квадрата будет в два раза меньше площади третьего:

$S_4 = S_3 / 2 = 4 / 2 = 2$ см$^2$.

4. Нахождение суммы площадей четырех квадратов

Теперь найдем сумму площадей первых четырех квадратов, сложив полученные значения:

$S_{сумма} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30$ см$^2$.

Ответ: $30$ см$^2$.