Номер 441, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 441, страница 127.

Условие.

441. Запишите три первых члена возрастающей геометрической про-грессии, сумма которых равна 21, а сумма обратных им чисел равна $\frac{7}{12}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть первые три члена возрастающей геометрической прогрессии будут $b_1$, $b_2$, $b_3$. По определению геометрической прогрессии, они связаны соотношениями $b_2 = b_1q$ и $b_3 = b_1q^2$, где $b_1$ - первый член, а $q$ - знаменатель прогрессии.

Поскольку прогрессия является возрастающей и сумма ее членов положительна (равна 21), то ее члены должны быть положительными. Это означает, что $b_1 > 0$ и знаменатель $q > 1$.

Согласно условию задачи, запишем систему уравнений:
1) Сумма первых трех членов равна 21: $b_1 + b_1q + b_1q^2 = 21$, что можно записать как $b_1(1 + q + q^2) = 21$.
2) Сумма обратных им чисел равна $\frac{7}{12}$: $\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1q} + \frac{1}{b_1q^2} = \frac{7}{12}$. Приведя к общему знаменателю, получим $\frac{q^2 + q + 1}{b_1q^2} = \frac{7}{12}$.

Из первого уравнения выразим сумму $1 + q + q^2 = \frac{21}{b_1}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:$\frac{21/b_1}{b_1q^2} = \frac{7}{12}$$\frac{21}{b_1^2q^2} = \frac{7}{12}$

Решим это уравнение относительно $b_1q$:$21 \cdot 12 = 7 \cdot b_1^2q^2$$b_1^2q^2 = \frac{21 \cdot 12}{7} = 3 \cdot 12 = 36$$(b_1q)^2 = 36$

Поскольку $b_1 > 0$ и $q > 0$, то $b_1q > 0$. Следовательно, $b_1q = \sqrt{36} = 6$.Заметим, что $b_1q$ - это второй член прогрессии $b_2$. Таким образом, $b_2 = 6$.

Теперь воспользуемся первым условием: $b_1 + b_2 + b_3 = 21$.Подставив $b_2 = 6$, получаем:$b_1 + 6 + b_3 = 21$$b_1 + b_3 = 15$

Мы также знаем, что для геометрической прогрессии выполняется свойство $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.$6^2 = b_1 \cdot b_3$, то есть $b_1 \cdot b_3 = 36$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для $b_1$ и $b_3$:$b_1 + b_3 = 15$$b_1 \cdot b_3 = 36$

По теореме Виета, $b_1$ и $b_3$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 15x + 36 = 0$.Найдем корни этого уравнения:Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81$.$x_1 = \frac{15 - \sqrt{81}}{2} = \frac{15 - 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$$x_2 = \frac{15 + \sqrt{81}}{2} = \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Таким образом, $b_1$ и $b_3$ равны 3 и 12. Так как по условию прогрессия возрастающая, то $b_1 < b_3$.Следовательно, $b_1 = 3$ и $b_3 = 12$.

Искомые три члена прогрессии: 3, 6, 12.Проверим знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3} = 2$. Так как $q > 1$, условие возрастания выполняется.

Ответ: 3, 6, 12.