Номер 435, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 435, страница 127.

Условие.

435. Числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $x^2 + bx + 4 = 0$,

а числа $x_3$ и $x_4$ – корнями уравнения $x^2 + cx + 64 = 0$. Найдите $b$ и $c$, если последовательность $x_1, x_2, x_3, x_4$ является геометрической прогрессией.

Решение.

Решение 2 (rus).

По условию, числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $x^2 + bx + 4 = 0$, а числа $x_3$ и $x_4$ — корнями уравнения $x^2 + cx + 64 = 0$. Применим теорему Виета к обоим уравнениям.

Для первого уравнения ($x^2 + bx + 4 = 0$):

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Для второго уравнения ($x^2 + cx + 64 = 0$):

$x_3 + x_4 = -c$

$x_3 \cdot x_4 = 64$

Известно, что последовательность $x_1, x_2, x_3, x_4$ является геометрической прогрессией. Пусть первый член прогрессии равен $x_1$, а знаменатель равен $q$. Тогда остальные члены можно выразить как:

$x_2 = x_1 q, \quad x_3 = x_1 q^2, \quad x_4 = x_1 q^3$.

Подставим эти выражения в соотношения для произведений корней:

1) $x_1 \cdot x_2 = x_1 \cdot (x_1 q) = x_1^2 q = 4$

2) $x_3 \cdot x_4 = (x_1 q^2) \cdot (x_1 q^3) = x_1^2 q^5 = 64$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными $x_1$ и $q$. Чтобы найти $q$, разделим второе уравнение на первое (это допустимо, так как из $x_1 x_2 = 4$ следует, что $x_1 \neq 0$ и $q \neq 0$):

$\frac{x_1^2 q^5}{x_1^2 q} = \frac{64}{4}$

$q^4 = 16$

Это уравнение имеет два действительных корня: $q=2$ и $q=-2$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = 2$

Подставим это значение $q$ в первое уравнение системы $x_1^2 q = 4$:

$x_1^2 \cdot 2 = 4 \implies x_1^2 = 2 \implies x_1 = \pm\sqrt{2}$.

Это дает нам два возможных набора решений.

а) Если $x_1 = \sqrt{2}$

Находим члены прогрессии: $x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = 2\sqrt{2}$, $x_3 = 4\sqrt{2}$, $x_4 = 8\sqrt{2}$.

Теперь вычисляем коэффициенты $b$ и $c$:

$b = -(x_1 + x_2) = -(\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = -3\sqrt{2}$

$c = -(x_3 + x_4) = -(4\sqrt{2} + 8\sqrt{2}) = -12\sqrt{2}$

б) Если $x_1 = -\sqrt{2}$

Находим члены прогрессии: $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = -2\sqrt{2}$, $x_3 = -4\sqrt{2}$, $x_4 = -8\sqrt{2}$.

Теперь вычисляем коэффициенты $b$ и $c$:

$b = -(x_1 + x_2) = -(-\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}$

$c = -(x_3 + x_4) = -(-4\sqrt{2} - 8\sqrt{2}) = 12\sqrt{2}$

Случай 2: $q = -2$

Подставим это значение $q$ в уравнение $x_1^2 q = 4$:

$x_1^2 \cdot (-2) = 4 \implies x_1^2 = -2$.

Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел. Поскольку коэффициенты $b$ и $c$ в уравнениях, как правило, предполагаются действительными, то и корни должны быть либо действительными, либо комплексно-сопряженными. В данном случае, если бы $x_1$ было комплексным, то $x_2 = -2x_1$ не было бы ему сопряженным, что привело бы к комплексному коэффициенту $b$. Поэтому этот случай мы не рассматриваем.

Таким образом, мы получили два возможных набора значений для $b$ и $c$.

Ответ: $b=-3\sqrt{2}, c=-12\sqrt{2}$ или $b=3\sqrt{2}, c=12\sqrt{2}$.